题目
4 设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)是来自总体Xsim N(0,2^2)的一个样本，问：a,b取何值时，统计量Y=a(X_(1)-3X_(2))^2+b(2X_(3)-4X_(4))^2服从chi^2分布？
4 设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$是来自总体$X\sim N(0,2^{2})$的一个样本，问：a,b取何值时，统计量
$Y=a(X_{1}-3X_{2})^{2}+b(2X_{3}-4X_{4})^{2}$服从$\chi^{2}$分布？
题目解答
答案
已知 $X_i \sim N(0, 4)$，计算得：
- $X_1 - 3X_2 \sim N(0, 40)$，标准化后 $\frac{(X_1 - 3X_2)^2}{40} \sim \chi^2(1)$；
- $2X_3 - 4X_4 \sim N(0, 80)$，标准化后 $\frac{(2X_3 - 4X_4)^2}{80} \sim \chi^2(1)$。
为使 $Y = a(X_1 - 3X_2)^2 + b(2X_3 - 4X_4)^2$ 服从 $\chi^2(2)$，需满足：
\[
a \cdot 40 = 1, \quad b \cdot 80 = 1.
\]
解得：
\[
a = \frac{1}{40}, \quad b = \frac{1}{80}.
\]
**答案：** $\boxed{a = \frac{1}{40}, b = \frac{1}{80}}$
解析
步骤 1：确定$X_{1}-3X_{2}$的分布
由于$X_{1}$和$X_{2}$都是来自$N(0, 4)$的独立随机变量，$X_{1}-3X_{2}$的均值为$0$，方差为$Var(X_{1}) + Var(-3X_{2}) = 4 + 9 \cdot 4 = 40$。因此，$X_{1}-3X_{2} \sim N(0, 40)$。
步骤 2：标准化$X_{1}-3X_{2}$
为了使$(X_{1}-3X_{2})^{2}$服从$\chi^{2}$分布，需要标准化$X_{1}-3X_{2}$，即$\frac{(X_{1}-3X_{2})^{2}}{40} \sim \chi^{2}(1)$。
步骤 3：确定$2X_{3}-4X_{4}$的分布
由于$X_{3}$和$X_{4}$都是来自$N(0, 4)$的独立随机变量，$2X_{3}-4X_{4}$的均值为$0$，方差为$Var(2X_{3}) + Var(-4X_{4}) = 4 \cdot 4 + 16 \cdot 4 = 80$。因此，$2X_{3}-4X_{4} \sim N(0, 80)$。
步骤 4：标准化$2X_{3}-4X_{4}$
为了使$(2X_{3}-4X_{4})^{2}$服从$\chi^{2}$分布，需要标准化$2X_{3}-4X_{4}$，即$\frac{(2X_{3}-4X_{4})^{2}}{80} \sim \chi^{2}(1)$。
步骤 5：确定$a$和$b$的值
为了使$Y=a(X_{1}-3X_{2})^{2}+b(2X_{3}-4X_{4})^{2}$服从$\chi^{2}(2)$分布，需要满足$a \cdot 40 = 1$和$b \cdot 80 = 1$。解得$a = \frac{1}{40}$和$b = \frac{1}{80}$。
由于$X_{1}$和$X_{2}$都是来自$N(0, 4)$的独立随机变量，$X_{1}-3X_{2}$的均值为$0$，方差为$Var(X_{1}) + Var(-3X_{2}) = 4 + 9 \cdot 4 = 40$。因此，$X_{1}-3X_{2} \sim N(0, 40)$。
步骤 2：标准化$X_{1}-3X_{2}$
为了使$(X_{1}-3X_{2})^{2}$服从$\chi^{2}$分布，需要标准化$X_{1}-3X_{2}$，即$\frac{(X_{1}-3X_{2})^{2}}{40} \sim \chi^{2}(1)$。
步骤 3：确定$2X_{3}-4X_{4}$的分布
由于$X_{3}$和$X_{4}$都是来自$N(0, 4)$的独立随机变量，$2X_{3}-4X_{4}$的均值为$0$，方差为$Var(2X_{3}) + Var(-4X_{4}) = 4 \cdot 4 + 16 \cdot 4 = 80$。因此，$2X_{3}-4X_{4} \sim N(0, 80)$。
步骤 4：标准化$2X_{3}-4X_{4}$
为了使$(2X_{3}-4X_{4})^{2}$服从$\chi^{2}$分布，需要标准化$2X_{3}-4X_{4}$，即$\frac{(2X_{3}-4X_{4})^{2}}{80} \sim \chi^{2}(1)$。
步骤 5：确定$a$和$b$的值
为了使$Y=a(X_{1}-3X_{2})^{2}+b(2X_{3}-4X_{4})^{2}$服从$\chi^{2}(2)$分布，需要满足$a \cdot 40 = 1$和$b \cdot 80 = 1$。解得$a = \frac{1}{40}$和$b = \frac{1}{80}$。