题目
8.计算下列行列式(D_(k)为k阶行列式):(1)D_(n)=}a& &1&a&&ddots&1&&a,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
8.计算下列行列式($D_{k}$为k阶行列式):
(1)$D_{n}=\begin{vmatrix}a& &1\\&a&\\&\ddots&\\1&&a\end{vmatrix}$,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
题目解答
答案
将行列式 $D_n$ 按第一行展开，得
\[
D_n = a \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2}
\]
其中 $D_{n-1}$ 为 $(n-1) \times (n-1)$ 阶行列式，$D_{n-2} = a^{n-2}$。
或使用特征值方法，矩阵 $A = aI + B$ 的特征值为 $a+1$，$a-1$，和 $a$（共 $n-2$ 个），行列式为特征值乘积：
\[
D_n = (a+1)(a-1)a^{n-2} = (a^2-1)a^{n-2}
\]
**答案：** $\boxed{(a^2-1)a^{n-2}}$