题目
设两独立随机变量sim N(0,4),Ysim (X)^2(9),则( )服从t分布sim N(0,4),Ysim (X)^2(9)。A.sim N(0,4),Ysim (X)^2(9)B.sim N(0,4),Ysim (X)^2(9)C.sim N(0,4),Ysim (X)^2(9)D.sim N(0,4),Ysim (X)^2(9)
设两独立随机变量
,则( )服从t分布
。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
本题答案为：D
t分布的定义是：如果随机变量Z服从标准正态分布N(0,1)，随机变量V服从自由度为n的卡方分布
，并且Z和V是独立的，那么随机变量
服从自由度为n的t分布。
现在，我们需要将X和Y转化为上述形式。
由于
，我们可以将其标准化，即:
这样，Z就服从标准正态分布N(0,1)。
对于Y，它已经是自由度为9的卡方分布，即
对于A选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为X没有除以2来标准化。
对于B选项，这个选项可以转化为t分布的形式，但需要验证系数3是否合适。
其中，
但这里系数是3，而不是1，所以这不是我们想要的。
对于C选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为分母中的Y被除以了 
，而不是 
被除以n（在这里n=9）。
对于D选项，这个选项可以转化为t分布的形式：
其中，
所以，该选项服从t分布4(9)
故本题选择D选项
解析
步骤 1：标准化随机变量X
由于$X\sim N(0,4)$，我们可以将其标准化，即:
$z=\dfrac {X-0}{\sqrt {4}}=\dfrac {X}{2}$
这样，Z就服从标准正态分布N(0,1)。
步骤 2：确认随机变量Y的分布
对于Y，它已经是自由度为9的卡方分布，即$Y\sim {X}^{2}(9)$。
步骤 3：分析选项
对于A选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为X没有除以2来标准化。
对于B选项，这个选项可以转化为t分布的形式，但需要验证系数3是否合适。
$T=\dfrac {3X}{\sqrt {Y}}=\dfrac {3\times \dfrac {X}{2}}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}=\dfrac {3Z}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}$
其中，$z=\dfrac {x}{2}$ , V=Y
但这里系数是3，而不是1，所以这不是我们想要的。
对于C选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为分母中的Y被除以了，而不是被除以n（在这里n=9）。
对于D选项，这个选项可以转化为t分布的形式：
$T=\dfrac {3X}{2\sqrt {Y}}=\dfrac {3\times \dfrac {X}{2}}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}=\dfrac {z}{\sqrt {\dfrac {y}{9}}}$
其中，$z=\dfrac {x}{2}$ , V=Y
所以，该选项服从t分布$(9)$。
由于$X\sim N(0,4)$，我们可以将其标准化，即:
$z=\dfrac {X-0}{\sqrt {4}}=\dfrac {X}{2}$
这样，Z就服从标准正态分布N(0,1)。
步骤 2：确认随机变量Y的分布
对于Y，它已经是自由度为9的卡方分布，即$Y\sim {X}^{2}(9)$。
步骤 3：分析选项
对于A选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为X没有除以2来标准化。
对于B选项，这个选项可以转化为t分布的形式，但需要验证系数3是否合适。
$T=\dfrac {3X}{\sqrt {Y}}=\dfrac {3\times \dfrac {X}{2}}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}=\dfrac {3Z}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}$
其中，$z=\dfrac {x}{2}$ , V=Y
但这里系数是3，而不是1，所以这不是我们想要的。
对于C选项，这个选项不能转化为t分布的形式，因为分母中的Y被除以了，而不是被除以n（在这里n=9）。
对于D选项，这个选项可以转化为t分布的形式：
$T=\dfrac {3X}{2\sqrt {Y}}=\dfrac {3\times \dfrac {X}{2}}{\sqrt {\dfrac {Y}{9}}}=\dfrac {z}{\sqrt {\dfrac {y}{9}}}$
其中，$z=\dfrac {x}{2}$ , V=Y
所以，该选项服从t分布$(9)$。