题目
设总体sim N((2.3)^2)，sim N((2.3)^2)是来自总体的一个样本，则sim N((2.3)^2)服从的分布是（）A.sim N((2.3)^2)B.sim N((2.3)^2)C.sim N((2.3)^2)D.sim N((2.3)^2)
设总体
，
是来自总体的一个样本，则
服从的分布是（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
，则
，因此选择B。
解析
步骤 1：理解样本方差的分布
样本方差$S^2$的分布与卡方分布有关。对于一个正态分布的总体$X\sim N(\mu, \sigma^2)$，其样本方差$S^2$的分布可以表示为$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$，其中$n$是样本容量，$\sigma^2$是总体方差。
步骤 2：应用样本方差的分布
题目中给出的样本方差形式为$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$，其中$n=4$，$\sigma^2=9$。根据样本方差的分布，可以将该表达式转换为$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{9}\cdot 9\cdot \dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$。根据步骤1中的公式，$\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$服从$\chi^2(3)$分布。
步骤 3：选择正确答案
根据步骤2的分析，$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$服从$\chi^2(3)$分布，因此选择B。
样本方差$S^2$的分布与卡方分布有关。对于一个正态分布的总体$X\sim N(\mu, \sigma^2)$，其样本方差$S^2$的分布可以表示为$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$，其中$n$是样本容量，$\sigma^2$是总体方差。
步骤 2：应用样本方差的分布
题目中给出的样本方差形式为$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$，其中$n=4$，$\sigma^2=9$。根据样本方差的分布，可以将该表达式转换为$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{9}\cdot 9\cdot \dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$。根据步骤1中的公式，$\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$服从$\chi^2(3)$分布。
步骤 3：选择正确答案
根据步骤2的分析，$\dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{4}(X_i-\overline{X})^2$服从$\chi^2(3)$分布，因此选择B。