题目

单色光垂直入射单缝,在屏上形成衍射条纹,若在衍射角30°的方向上单缝上下边缘处光线的光程差30°,问:(1)在此衍射角方向上是明是暗为几级条纹单缝可分为几个半波带在此正负级次条纹间有多少亮条纹(2)若透镜焦距30cm,求此正负级次条纹间距。

单色光垂直入射单缝,在屏上形成衍射条纹,若在衍射角 $30^{\circ}$ 的方向上单缝上下边缘处光线的光程差 $3\lambda$ ,问:(1)在此衍射角方向上是明是暗为几级条纹单缝可分为几个半波带在此正负级次条纹间有多少亮条纹(2)若透镜焦距30cm,求此正负级次条纹间距。

题目解答

答案

我们来解决这个问题，首先分析给出的信息：

单色光垂直入射到单缝，并在屏幕上形成衍射条纹。

在衍射角 $(\theta=30^{\circ})$ 的方向上，单缝上下边缘处的光线光程差 $(\Delta s=3\lambda)$ 。

(1) 判断明暗条纹及条纹级次

对于单缝衍射，光程差 $(\Delta s)$ 与明暗条纹的级次有以下关系：

$[\Delta s=m\lambda]$

其中 ( m ) 是衍射级次的整数（( m ) 可以是正整数、零或负整数）。

确定明暗条纹

已知光程差：

$[\Delta s=3\lambda]$

因此，我们可以确定：

$[m=3]$

这表示在 $(30^{\circ})$ 方向上形成的是 3级暗条纹。

单缝可分为几个半波带

单缝的光程差对应于单缝的宽度 ( a )。单缝的宽度 ( a ) 可以通过以下公式与波长 $(\lambda)$ 和衍射角 $(\theta)$ 的关系得出：

$[a\sin\theta=m\lambda]$

在 $(\theta=30^{\circ})$ 的情况下，

$[a\sin30^{\circ}=3\lambda\Rightarrow a\cdot\frac{1}{2}=3\lambda\Rightarrow a=6\lambda]$

单缝可分为几个半波带。每个半波带宽度为 $(\frac{\lambda}{2})$ ，因此：

$[\text{半波带数}=\frac{a}{\frac{\lambda}{2}}=\frac{6\lambda}{\frac{\lambda}{2}}=12]$

亮条纹数量

在 ( 3 ) 级暗条纹的两侧，我们有 ( 3 ) 个正级次条纹和 ( 2 ) 个负级次条纹，因此在正负级次条纹之间有：

$[3+2=5\text{ 个亮条纹}]$

(2) 计算正负级次条纹间距

透镜的焦距 $(f=30\text{cm})$ 。在单缝衍射中，条纹间距 ( y ) 与光波波长 $(\lambda)$ 和衍射角度的关系如下：

$[y=\frac{\lambda f}{a}]$

已知 $(a=6\lambda)$ ，代入计算条纹间距：

$[y=\frac{\lambda f}{6\lambda}=\frac{f}{6}]$

代入 $(f=30\text{cm})$ :

$[y=\frac{30\text{cm}}{6}=5\text{cm}]$

结果总结

1.在 $(30^{\circ})$ 的方向上是 3级暗条纹，可分为 12个半波带，在此正负级次条纹之间有 5个亮条纹。

2.此正负级次条纹间距为 5 cm。

解析

单缝衍射的核心在于光程差与条纹级次的关系。当单缝上下边缘的光程差$\Delta S = m\lambda$时，形成$m$级暗条纹。半波带数目由单缝宽度$a$与波长$\lambda$的关系确定，每个半波带宽度为$\lambda/2$。正负级次间的亮条纹数目可通过级次$m$推导。条纹间距计算需结合透镜焦距$f$与单缝宽度$a$。

第（1）题

判断明暗条纹及级次

光程差$\Delta S = 3\lambda$，对应$m=3$，故为3级暗条纹。

单缝分半波带数目

由$a \sin\theta = m\lambda$，得$a = \frac{3\lambda}{\sin30^\circ} = 6\lambda$。
半波带数目：$\frac{a}{\lambda/2} = \frac{6\lambda}{\lambda/2} = 12$。

正负级次间亮条纹数目

第3级暗条纹两侧，正方向有3个亮条纹，负方向有2个亮条纹，共$3+2=5$个亮条纹。

第（2）题

条纹间距计算

公式$y = \frac{\lambda f}{a}$，代入$a=6\lambda$和$f=30\ \text{cm}$：
$y = \frac{\lambda \cdot 30\ \text{cm}}{6\lambda} = 5\ \text{cm}.$