题目
设 X sim N(2,4), Y sim N(3,9)，且 X 和 Y 相互独立。则（） A. 2X - Y sim N(1,25) B. 2X - Y sim N(1,-1) C. 2X - Y sim N(1,7) D. 2X - Y sim N(1,17)
$$ 设 $X \sim N(2,4)$, $Y \sim N(3,9)$，且 $X $和 $Y $相互独立。则（） $$
- A. $$ $2X - Y \sim N(1,25)$ $$
- B. $$ $2X - Y \sim N(1,-1)$ $$
- C. $$ $2X - Y \sim N(1,7)$ $$
- D. $$ $2X - Y \sim N(1,17)$ $$
题目解答
答案
A
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立正态变量的线性组合后的均值和方差的计算。
解题核心思路：
- 独立正态变量的线性组合仍服从正态分布。
- 均值的线性组合：若 $Z = aX + bY$，则 $E(Z) = aE(X) + bE(Y)$。
- 方差的线性组合：若 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $\text{Var}(Z) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$。
破题关键点：
- 正确代入系数 $a=2$ 和 $b=-1$，分别计算均值和方差。
- 注意方差计算时，系数平方后与原方差相乘，再相加。
已知 $X \sim N(2,4)$，$Y \sim N(3,9)$，且 $X$ 和 $Y$ 独立。求 $2X - Y$ 的分布。
步骤1：计算均值
根据线性组合的均值公式：
$E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y) = 2 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1.$
步骤2：计算方差
根据独立变量方差公式：
$\text{Var}(2X - Y) = (2)^2 \text{Var}(X) + (-1)^2 \text{Var}(Y) = 4 \times 4 + 1 \times 9 = 16 + 9 = 25.$
步骤3：确定分布
因此，$2X - Y$ 服从正态分布 $N(1, 25)$，对应选项 A。