题目
20.填空题例7.4 假设元件的寿命Xsim N(mu,100^2)，现在测量得到16只元件的寿命（单位：小时）：mid 170 485 260 149 250 168 362 222 159 280 101 212 224 379 179 264问能否认为元件的平均寿命大于225小时？mid
20.填空题
例7.4 假设元件的寿命$X\sim N(\mu,100^{2})$，现在测量得到16只元件的寿命（单位：小时）：
$\mid$ 170 485 260 149 250 168 362 222 159 280 101 212 224 379 179 264
问能否认为元件的平均寿命大于225小时？
$\mid$
题目解答
答案
为了确定元件的平均寿命是否大于225小时，我们需要进行假设检验。给定的元件寿命数据为：
170, 485, 260, 149, 250, 168, 362, 222, 159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264
我们首先计算样本均值 $\bar{X}$。样本均值的计算公式为：
\[
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
\]
其中 $n = 16$ 是样本大小，$X_i$ 是每个元件的寿命。将数据代入公式，我们得到：
\[
\bar{X} = \frac{1}{16} (170 + 485 + 260 + 149 + 250 + 168 + 362 + 222 + 159 + 280 + 101 + 212 + 224 + 379 + 179 + 264)
\]
首先，我们计算所有寿命的总和：
\[
170 + 485 + 260 + 149 + 250 + 168 + 362 + 222 + 159 + 280 + 101 + 212 + 224 + 379 + 179 + 264 = 4193
\]
现在，我们计算样本均值：
\[
\bar{X} = \frac{4194}{16} = 262.125
\]
已知总体方差 $\sigma^2 = 100^2 = 10000$，总体标准差 $\sigma = 100$。我们进行单样本 $Z$ 检验，以检验假设 $H_0: \mu \leq 225$ 对 $H_1: \mu > 225$。
$Z$ 检验统计量的计算公式为：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中 $\mu_0 = 225$。将已知值代入公式，我们得到：
\[
Z = \frac{262.125 - 225}{100 / \sqrt{16}} = \frac{37.125}{100 / 4} = \frac{37.125}{25} = 1.485
\]
我们使用标准正态分布表来找到 $Z = 1.485$ 对应的 $p$-值。$Z = 1.485$ 的 $p$-值大约为 0.0686。
由于 $p$-值 (0.0686) 大于显著性水平 $\alpha = 0.05$，我们 fail to reject $H_0$。因此，我们没有足够的证据认为元件的平均寿命大于225小时。
\[
\boxed{不能认为元件的平均寿命大于225小时}
\]