题目

1.设X1,···,Xn为正态总体N(μ,σ^2)的样本,记 ^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-overline (x))}^2, 则下列选-|||-项中正确的是 () .-|||-(A) dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1) (B) dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n)-|||-(C) (n-1)(S)^2sim (chi )^2(n-1) (D) dfrac ({S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1)

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，特别是与卡方分布的关系。

解题核心思路：

  1. 卡方分布的定义：若独立随机变量服从标准正态分布，其平方和服从卡方分布，自由度为变量个数。
  2. 样本方差的构造：对于正态总体，样本方差$S^2$的计算公式中分母为$n-1$，其形式为$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$。
  3. 关键推导：将标准化后的离差平方和与卡方分布关联，需明确自由度的来源（$n-1$）以及必须除以总体方差$\sigma^2$以消除单位影响。

破题关键点：

  • 自由度确定：样本均值$\overline{X}$的计算消耗1个自由度，因此卡方分布的自由度为$n-1$。
  • 无偏性与标准化：样本方差的无偏性保证$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从卡方分布，而非直接使用$S^2$或$(n-1)S^2$。

对于正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本$X_1, X_2, \dots, X_n$，样本方差定义为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

关键推导步骤：

  1. 标准化离差平方和：
    将每个离差$X_i - \overline{X}$标准化为$\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}$，其平方和为：
    $\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2$
    该统计量服从自由度为$n-1$的卡方分布，即：
    $\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n-1)$

  2. 与样本方差的关系：
    根据$S^2$的定义，平方和可表示为：
    $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$
    代入标准化平方和得：
    $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n-1)$

选项分析：

  • (A) $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$：正确，符合推导结果。
  • (B) 自由度错误（应为$n-1$）。
  • (C) 缺少除以$\sigma^2$，单位不匹配。
  • (D) 分子未乘以$n-1$，无法构成卡方分布。