42.观察某地100名12岁女孩的身高，均数为138cm，标准差为4cm，令Z=(128.00-138.00)/4，Φ(Z)是标准正态分布的分布函数，1-Φ(Z)=1-Φ(-2.43)=0.9925，结论是:A. 理论上身高低于138.00cm的12岁女孩占99.25%B. 理论上身高高于138.00cm的12岁女孩占99.25%C. 理论上身高在128.00cm至138.00cm之间的12岁女孩占99.25%D. 理论上身高低于128.00cm的12岁女孩占99.25%E. 理论上身高高于128.00cm的12岁女孩占99.25%

本题考查正态分布的标准化变换以及标准正态分布分布函数的应用。解题的关键在于理解标准化变换公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 的含义，以及标准正态分布分布函数 $\varPhi(Z)$ 所代表的概率意义，即 $P(X \leq x)=\varPhi(\frac{x - \mu}{\sigma})$，其中 $X$ 是原始变量，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

步骤一：明确已知条件

已知样本为某地 100 名 12 岁女孩的身高，均数 $\mu = 138cm$，标准差 $\sigma = 4cm$，计算得到 $Z=\frac{128.00 - 138.00}{4}=-2.43$，且 $1 - \varPhi(Z)=1 - \varPhi(-2.43)=0.9925$。

步骤二：分析 $Z$ 分数的含义

$Z$ 分数是将原始数据 $X$ 进行标准化处理得到的数值，公式为 $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$。这里 $X = 128cm$，$\mu = 138cm$，$\sigma = 4cm$，计算出 $Z=-2.43$，它表示 $128cm$ 这个身高值距离均值 $138cm$ 有 $2.43$ 个标准差，且在均值的左侧。

步骤三：理解标准正态分布分布函数 $\varPhi(Z)$ 的意义

$\varPhi(Z)$ 表示标准正态分布中小于等于 $Z$ 的概率，即 $P(Z\leq z)=\varPhi(z)$。在本题中，$\varPhi(-2.43)$ 表示身高 $X$ 对应的 $Z$ 分数小于等于 $-2.43$ 的概率，也就是身高低于 $128cm$ 的 12 岁女孩的理论比例。

步骤四：分析 $1 - \varPhi(Z)$ 的意义

$1 - \varPhi(Z)$ 表示标准正态分布中大于 $Z$ 的概率，即 $P(Z > z)=1 - \varPhi(z)$。在本题中，$1 - \varPhi(-2.43)=0.9925$ 表示身高 $X$ 对应的 $Z$ 分数大于 $-2.43$ 的概率，也就是身高高于 $128cm$ 的 12 岁女孩的理论比例。

步骤五：对各选项进行分析

• 选项 A：理论上身高低于 $138.00cm$ 的 12 岁女孩占比，因为 $138cm$ 是均值，在正态分布中，均值左右两侧的概率各为 $0.5$，所以该选项错误。
• 选项 B：理论上身高高于 $138.00cm$ 的 12 岁女孩占比同样为 $0.5$，该选项错误。
• 选项 C：理论上身高在 $128.00cm$ 至 $138.00cm$ 之间的 12 岁女孩占比，需要计算 $P(128\leq X\leq 138)$，即 $P(-2.43\leq Z\leq 0)=\varPhi(0)-\varPhi(-2.43)=0.5 - (1 - 0.9925)=0.4925$，该选项错误。
• 选项 D：理论上身高低于 $128.00cm$ 的 12 岁女孩占比为 $\varPhi(-2.43)=1 - 0.9925 = 0.0075$，该选项错误。
• 选项 E：由前面分析可知，理论上身高高于 $128.00cm$ 的 12 岁女孩占 $99.25\%$，该选项正确。