题目

随机区组设计的方差分析中，总样本容量为n，样本处理因素有k个水平，区组个数为b，则所用的统计量有()。 A F_({区组)}=(MS_({区组)})/(MS_({处理))} sim F(m-1, n-k-m+1) B F_({处理)}=(MS_({处理)})/(MS_({区组))} sim F(k-1, n-k-m+1) C F_({区组)}=(MS_({区组)})/(MS_({处理))} sim F(m-1, n-k-m+1) D F_({处理)}=(MS_({处理)})/(MS_({区组))} sim F(k-1, n-k-m+1)

随机区组设计的方差分析中，总样本容量为$n$，样本处理因素有$k$个水平，区组个数为$b$，则所用的统计量有()。

A $F_{\text{区组}}=\frac{MS_{\text{区组}}}{MS_{\text{处理}}} \sim F(m-1, n-k-m+1)$

B $F_{\text{处理}}=\frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{区组}}} \sim F(k-1, n-k-m+1)$

C $F_{\text{区组}}=\frac{MS_{\text{区组}}}{MS_{\text{处理}}} \sim F(m-1, n-k-m+1)$

D $F_{\text{处理}}=\frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{区组}}} \sim F(k-1, n-k-m+1)$

题目解答

答案

在随机区组设计的方差分析中，总样本容量为 $ n $，样本处理因素有 $ k $ 个水平，区组个数为 $ b $。我们需要确定所用的统计量及其分布。 首先，我们定义方差分析中的一些基本概念： - 总平方和（SST）：所有观察值与总平均值的平方和。 - 处理平方和（SSA）：各处理组平均值与总平均值的平方和。 - 区组平方和（SSB）：各区组平均值与总平均值的平方和。 - 误差平方和（SSE）：各观察值与各自处理组平均值的平方和，以及各观察值与各自区组平均值的平方和。 在随机区组设计中，总平方和可以分解为处理平方和、区组平方和和误差平方和： \[ SST = SSA + SSB + SSE \] 接下来，我们计算自由度： - 总自由度（dfT）： $ n - 1 $ - 处理自由度（dfA）： $ k - 1 $ - 区组自由度（dfB）： $ b - 1 $ - 误差自由度（dfE）： $ (k - 1)(b - 1) $ 在方差分析中，我们使用均方（MS）来表示平方和除以自由度： - 处理均方（MSA）： $ MSA = \frac{SSA}{dfA} $ - 区组均方（MSB）： $ MSB = \frac{SSB}{dfB} $ - 误差均方（MSE）： $ MSE = \frac{SSE}{dfE} $ 用于检验处理因素的统计量是 $ F $ 统计量，定义为处理均方与误差均方的比值： \[ F_{\text{处理}} = \frac{MSA}{MSE} \] 这个 $ F $ 统计量服从 $ F $ 分布，自由度为 $ (k-1, (k-1)(b-1)) $。 因此，正确答案是： \[ F_{\text{处理}} = \frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{误差}}} \sim F(k-1, (k-1)(b-1)) \] 由于 $ n = kb $（总样本容量等于处理水平数乘以区组数），所以 $ (k-1)(b-1) = n - k - b + 1 $。 因此，正确答案是： \[ F_{\text{处理}} = \frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{误差}}} \sim F(k-1, n - k - b + 1) \] 所以，正确选项是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查随机区组设计的方差分析中统计量的相关知识。解题思路是先明确随机区组设计中方差分析的基本概念，包括总平方和、处理平方和、区组平方和、误差平方和以及它们各自的自由度，再根据均方的定义计算处理均方、区组均方和误差均方，最后确定用于检验处理因素的$F$统计量及其分布。

  1. 平方和的分解：
    • 在随机区组设计中，总平方和$SST$可以分解为处理平方和$SSA$、区组平方和$SSB$和误差平方和$SSE$，即$SST = SSA + SSB + SSE$。
  2. 自由度的计算：
    • 总自由度$df_T=n - 1$，其中$n$为总样本容量。
    • 处理自由度$df_A=k - 1$，其中$k$为样本处理因素的水平数。
    • 区组自由度$df_B=b - 1$，其中$b$为区组个数。
    • 误差自由度$df_E=(k - 1)(b - 1)$。
  3. 均方的计算：
    • 处理均方$MS_{\text{处理}}=\frac{SSA}{df_A}=\frac{SSA}{k - 1}$。
    • 区组均方$MS_{\text{区组}}=\frac{SSB}{df_B}=\frac{SSB}{b - 1}$。
    • 误差均方$MS_{\text{误差}}=\frac{SSE}{df_E}=\frac{SSE}{(k - 1)(b - 1)}$。
  4. $F$统计量的确定：
    • 用于检验处理因素的$F$统计量定义为处理均方与误差均方的比值，即$F_{\text{处理}}=\frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{误差}}}$。
    • 该$F$统计量服从$F$分布，自由度为$(k - 1,(k - 1)(b - 1))$。
    • 因为$n = kb$，所以$(k - 1)(b - 1)=n - k - b + 1$，则$F_{\text{处理}}=\frac{MS_{\text{处理}}}{MS_{\text{误差}}}\sim F(k - 1,n - k - b + 1)$。