题目

28.有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立.求(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.

28.有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立.求 (1)这两颗花籽都能发芽的概率. (2)至少有一颗能发芽的概率. (3)恰有一颗能发芽的概率.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用概率的基本原理，特别是独立事件的概率计算。设第一颗花籽发芽的概率为 $ P(A) = 0.8 $，第二颗花籽发芽的概率为 $ P(B) = 0.9 $。由于各花籽是否发芽相互独立，我们可以按以下步骤计算每个概率。 ### (1) 这两颗花籽都能发芽的概率 两颗花籽都能发芽的概率是两颗花籽各自发芽概率的乘积。因此，我们有： \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.9 = 0.72 \] ### (2) 至少有一颗能发芽的概率 至少有一颗花籽能发芽的概率等于1减去两颗花籽都不能发芽的概率。首先，我们计算两颗花籽都不能发芽的概率。第一颗花籽不能发芽的概率为 $ P(A^c) = 1 - P(A) = 0.2 $，第二颗花籽不能发芽的概率为 $ P(B^c) = 1 - P(B) = 0.1 $。因此，两颗花籽都不能发芽的概率为： \[ P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c) = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \] 所以，至少有一颗花籽能发芽的概率为： \[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.02 = 0.98 \] ### (3) 恰有一颗能发芽的概率 恰有一颗花籽能发芽的概率等于第一颗花籽发芽且第二颗花籽不发芽的概率加上第一颗花籽不发芽且第二颗花籽发芽的概率。因此，我们有： \[ P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = P(A) \times P(B^c) + P(A^c) \times P(B) = 0.8 \times 0.1 + 0.2 \times 0.9 = 0.08 + 0.18 = 0.26 \] 综上所述，答案为： \[ \boxed{0.72, 0.98, 0.26} \]

解析

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，涉及同时发生、至少一个发生、恰好一个发生的概率求解方法。

解题思路：

  1. 独立事件：两花籽发芽相互独立，概率相乘；
  2. 至少一个发生：转化为补集概率（两都不发芽）；
  3. 恰好一个发生：分两种互斥情况（A发芽B不发芽 + A不发芽B发芽）。

第（1）题

确定事件独立性

两花籽发芽独立，概率分别为 $P(A)=0.8$ 和 $P(B)=0.9$。

计算同时发芽概率

两事件同时发生的概率为：
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.9 = 0.72$

第（2）题

计算两都不发芽的概率

第一颗不发芽概率 $P(A^c)=1-0.8=0.2$，第二颗不发芽概率 $P(B^c)=1-0.9=0.1$，因此：
$P(A^c \cap B^c) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$

计算至少一个发芽的概率

利用补集关系：
$P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.02 = 0.98$

第（3）题

分情况计算概率

  • A发芽且B不发芽：$P(A \cap B^c) = 0.8 \times 0.1 = 0.08$
  • A不发芽且B发芽：$P(A^c \cap B) = 0.2 \times 0.9 = 0.18$

合并结果

两者相加：
$P(\text{恰一颗发芽}) = 0.08 + 0.18 = 0.26$