题目
5.设A=(}2&-1&3a&1&b4&c&6
5.设$A=\left(\begin{matrix}2&-1&3\\a&1&b\\4&c&6\end{matrix}\right)$，若存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0，求$A^{n}$
题目解答
答案
由题意，存在秩大于1的矩阵 $B$ 使得 $BA=0$，故 $A$ 的秩小于等于1。设 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ a & 1 & b \\ 4 & c & 6 \end{pmatrix}$，则 $A$ 的行向量线性相关。
解得 $a = -2$，$b = -3$，$c = -2$，得
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}. \]
设 $\alpha = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$，则 $A = \alpha \beta$。
计算得 $\beta \alpha = 9$，故
\[ A^n = (\alpha \beta)^n = \alpha (\beta \alpha)^{n-1} \beta = 9^{n-1} \alpha \beta = 9^{n-1} A. \]
因此，
\[ \boxed{9^{n-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}}. \]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的秩、矩阵乘法的性质以及秩为1矩阵的幂运算规律。
解题核心思路：
- 条件转化：由存在秩大于1的矩阵$B$使得$BA=0$，推断出矩阵$A$的秩必须小于等于1。
- 求解参数：通过$A$的秩为1的条件，确定$a$、$b$、$c$的值。
- 幂运算规律：利用秩为1矩阵的分解形式$A = \alpha \beta$，结合$\beta \alpha$为标量的性质，推导$A^n$的表达式。
破题关键点：
- 秩的条件：若存在秩为2的矩阵$B$使得$BA=0$，则$A$的列空间必须包含在$B$的零空间中，而$B$的零空间维数为1，因此$A$的秩为1。
- 秩为1矩阵的分解：将$A$分解为列向量$\alpha$和行向量$\beta$的乘积，利用$\beta \alpha$为标量简化幂运算。
步骤1：确定矩阵$A$的秩为1
由题意，存在秩为2的矩阵$B$使得$BA=0$，说明$A$的列空间包含在$B$的零空间中。由于$B$的秩为2，其零空间维数为1，因此$A$的列向量必须线性相关，即$A$的秩小于等于1。
步骤2：求解参数$a$、$b$、$c$
-
行向量线性相关：
- 第三行应为第一行的2倍，得$c = -2$。
- 第二行应为第一行的$-1$倍，得$a = -2$，$b = -3$。
最终矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$
步骤3：分解矩阵$A$为$\alpha \beta$
设$\alpha = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$，则$A = \alpha \beta$。
步骤4：计算$\beta \alpha$
$\beta \alpha = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 4 \cdot \frac{3}{2} = 2 + 1 + 6 = 9$
步骤5：推导$A^n$
利用秩为1矩阵的幂运算规律：
$A^n = (\alpha \beta)^n = \alpha (\beta \alpha)^{n-1} \beta = 9^{n-1} \alpha \beta = 9^{n-1} A$