题目
判断题（共10题，每题1.00分）1.若f'(x)>0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递增。bigcirc正确 bigcirc错误
判断题（共10题，每题1.00分）
1.若f'(x)>0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递增。
$\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误
题目解答
答案
根据导数的定义，若 $ f'(x) > 0 $ 在区间 $ I $ 上恒成立，则对于任意 $ x_1, x_2 \in I $ 且 $ x_1 < x_2 $，由拉格朗日中值定理知存在 $ c \in (x_1, x_2) $ 满足
\[
f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0.
\]
由于 $ x_2 - x_1 > 0 $，故 $ f(x_2) - f(x_1) > 0 $，即 $ f(x_2) > f(x_1) $。因此，$ f(x) $ 在区间 $ I $ 上单调递增。
答案：A 正确
解析
考查要点：本题主要考查导数与函数单调性的关系，即导数的符号如何影响函数的增减趋势。
解题核心思路：根据导数的基本定理，若函数在区间内的导数始终大于零，则函数在该区间上严格单调递增。关键在于理解导数正时，函数值随自变量增大而增大的必然性。
破题关键点：明确导数的定义与单调性的定义之间的联系，排除可能存在的特殊情况（如导数为零的点），但题目中已明确导数恒正，因此无需考虑此类情况。
导数与单调性的关系：
若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且对任意 $x \in I$，有 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增。具体推导如下：
-
任取两点比较：
取区间内任意两点 $x_1 < x_2$，根据拉格朗日中值定理，存在 $c \in (x_1, x_2)$，使得
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1).$ -
分析差值符号：
由于 $f'(c) > 0$ 且 $x_2 - x_1 > 0$，因此
$f(x_2) - f(x_1) > 0.$ -
结论：
由此可得 $f(x_2) > f(x_1)$，即函数在区间 $I$ 上严格单调递增。