题目

8.设x为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ²，当（）时，有E(Y)=0，D(Y)=1.单选题(5分)bigcircA.Y=σX+μbigcircB.Y=σX-μ●C.Y=(X-μ)/(σ)bigcircD.Y=(X-μ)/(σ^2)

8.设x为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ²，当（）时，有E(Y)=0，D(Y)=1. 单选题(5分) $\bigcirc$A.Y=σX+μ $\bigcirc$B.Y=σX-μ ●C.Y=$\frac{X-μ}{σ}$ $\bigcirc$D.Y=$\frac{X-μ}{σ^2}$

题目解答

为了确定随机变量 $Y$ 的期望 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$ 满足 $E(Y) = 0$ 和 $D(Y) = 1$ 的条件，我们需要对每个选项进行分析。

已知：

选项A: $Y = \sigma X + \mu$

计算 $E(Y)$:
$E(Y) = E(\sigma X + \mu) = \sigma E(X) + \mu = \sigma \mu + \mu = \mu (\sigma + 1)$
由于 $\mu$ 和 $\sigma$ 一般不为零， $E(Y) \neq 0$。
计算 $D(Y)$:
$D(Y) = D(\sigma X + \mu) = \sigma^2 D(X) = \sigma^2 \sigma^2 = \sigma^4$
由于 $\sigma^4 \neq 1$（除非 $\sigma = 1$）， $D(Y) \neq 1$。

选项B: $Y = \sigma X - \mu$

计算 $E(Y)$:
$E(Y) = E(\sigma X - \mu) = \sigma E(X) - \mu = \sigma \mu - \mu = \mu (\sigma - 1)$
由于 $\mu$ 和 $\sigma$ 一般不为零， $E(Y) \neq 0$。
计算 $D(Y)$:
$D(Y) = D(\sigma X - \mu) = \sigma^2 D(X) = \sigma^2 \sigma^2 = \sigma^4$
由于 $\sigma^4 \neq 1$（除非 $\sigma = 1$）， $D(Y) \neq 1$。

选项C: $Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$

计算 $E(Y)$:
$E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (E(X) - \mu) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0$
所以， $E(Y) = 0$。
计算 $D(Y)$:
$D(Y) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2 D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} D(X) = \frac{1}{\sigma^2} \sigma^2 = 1$
所以， $D(Y) = 1$。

选项D: $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$

计算 $E(Y)$:
$E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sigma^2} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} (E(X) - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} (\mu - \mu) = 0$
所以， $E(Y) = 0$。
计算 $D(Y)$:
$D(Y) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^2 D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^4} D(X) = \frac{1}{\sigma^4} \sigma^2 = \frac{1}{\sigma^2}$
由于 $\frac{1}{\sigma^2} \neq 1$（除非 $\sigma = 1$）， $D(Y) \neq 1$。

结论

只有选项C满足 $E(Y) = 0$ 和 $D(Y) = 1$。

$\boxed{C}$

本题考查随机变量的期望和方差的性质，解题思路是根据期望和方差的性质分别计算每个选项中随机变量$Y$的期望$E(Y)$和方差$D(Y)$，然后判断哪个选项满足$E(Y)=0$且$D(Y)=1$。

选项A：$Y = \sigma X + \mu$

计算$E(Y)$：
根据期望的性质$E(aX + b) = aE(X) + b$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$E(Y) = E(\sigma X + \mu) = \sigma E(X) + \mu$
已知$E(X) = \mu$，代入上式可得：
$E(Y) = \sigma \mu + \mu = \mu (\sigma + 1)$
由于$\mu$和$\sigma$一般不为零，所以$E(Y) \neq 0$。
计算$D(Y)$：
根据方差的性质$D(aX + b) = a^2D(X)$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$D(Y) = D(\sigma X + \mu) = \sigma^2 D(X)$
已知$D(X) = \sigma^2$，代入上式可得：
$D(Y) = \sigma^2 \cdot \sigma^2 = \sigma^4$
由于$\sigma^4 \neq 1$（除非$\sigma = 1$），所以$D(Y) \neq 1$。

选项B：$Y = \sigma X - \mu$

计算$E(Y)$：
根据期望的性质$E(aX + b) = aE(X) + b$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$E(Y) = E(\sigma X - \mu) = \sigma E(X) - \mu$
已知$E(X) = \mu$，代入上式可得：
$E(Y) = \sigma \mu - \mu = \mu (\sigma - 1)$
由于$\mu$和$\sigma$一般不为零，所以$E(Y) \neq 0$。
计算$D(Y)$：
根据方差的性质$D(aX + b) = a^2D(X)$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$D(Y) = D(\sigma X - \mu) = \sigma^2 D(X)$
已知$D(X) = \sigma^2$，代入上式可得：
$D(Y) = \sigma^2 \cdot \sigma^2 = \sigma^4$
由于$\sigma^4 \neq 1$（除非$\sigma = 1$），所以$D(Y) \neq 1$。

选项C：$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$

计算$E(Y)$：
根据期望的性质$E(aX + b) = aE(X) + b$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (E(X) - \mu)$
已知$E(X) = \mu$，代入上式可得：
$E(Y) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0$
计算$D(Y)$：
根据方差的性质$D(aX + b) = a^2D(X)$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$D(Y) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2 D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} D(X)$
已知$D(X) = \sigma^2$，代入上式可得：
$D(Y) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \sigma^2 = 1$
所以，选项C满足$E(Y) = 0$且$D(Y) = 1$。

选项D：$Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$

计算$E(Y)$：
根据期望的性质$E(aX + b) = aE(X) + b$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sigma^2} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} (E(X) - \mu)$
已知$E(X) = \mu$，代入上式可得：
$E(Y) = \frac{1}{\sigma^2} (\mu - \mu) = 0$
计算$D(Y)$：
根据方差的性质$D(aX + b) = a^2D(X)$（其中$a$、$b$为常数），可得：
$D(Y) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^2 D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^4} D(X)$
已知$D(X) = \sigma^2$，代入上式可得：
$D(Y) = \frac{1}{\sigma^4} \cdot \sigma^2 = \frac{1}{\sigma^2}$
由于$\frac{1}{\sigma^2} \neq 1$（除非$\sigma = 1$），所以$D(Y) \neq 1$。