11.已知金属锰的熔化点 sum _(5)^5sim N(mu ,(sigma )^2), 现对金属-|||-锰的熔化点(单位:℃)作了四次试验,结果分别为-|||-1269,1271,1263,1265.-|||-试问在 alpha =0.05 下,能否接受测定值的均方差小-|||-于等于2℃?

考查要点：本题主要考查方差的假设检验，涉及卡方分布的应用。需要根据样本数据判断总体方差是否超过给定阈值。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：原假设为总体方差 $\sigma^2 \leq 2$，备择假设为 $\sigma^2 > 2$。
2. 选择检验统计量：由于总体服从正态分布且方差未知，采用卡方检验，统计量为 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$，其中 $s^2$ 是样本方差，$\sigma_0^2 = 2$。
3. 计算临界值：根据显著性水平 $\alpha = 0.05$ 和自由度 $n-1 = 3$，查卡方分布表确定临界值。
4. 比较统计量与临界值：若统计量超过临界值，则拒绝原假设。

破题关键：正确计算样本方差，并准确应用卡方检验的公式和临界值。

步骤1：计算样本均值

样本数据为 $1269, 1271, 1263, 1265$，样本均值为：
$\bar{x} = \frac{1269 + 1271 + 1263 + 1265}{4} = 1267 \, \text{℃}$

步骤2：计算样本方差

计算各数据点与均值的平方差：
$\begin{align*}(1269 - 1267)^2 &= 4, \\(1271 - 1267)^2 &= 16, \\(1263 - 1267)^2 &= 16, \\(1265 - 1267)^2 &= 4.\end{align*}$
平方差和为 $4 + 16 + 16 + 4 = 40$，样本方差（无偏估计）为：
$s^2 = \frac{40}{4-1} = \frac{40}{3} \approx 13.333 \, \text{℃}^2$

步骤3：构造卡方检验统计量

假设 $\sigma_0^2 = 2$，则：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{3 \times \frac{40}{3}}{2} = \frac{40}{2} = 20$

步骤4：确定临界值与决策

自由度 $df = n-1 = 3$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查卡方分布表得上侧分位数 $\chi^2_{0.05}(3) = 7.815$。
由于 $20 > 7.815$，统计量落入拒绝域，拒绝原假设，即总体方差 $\sigma^2 > 2$。