函数f(x)=|x|在x=0处( )A. 连续但不可导B. 可导C. 不连续D. 极限不存在

本题考查函数在某点处的连续性与可导性的判断。解题思路是先判断函数在该点处的极限是否存在且等于该点的函数值，以此确定连续性；再通过左右导数是否相等来判断可导性。

1. 判断函数在$x = 0$处的连续性

函数在某点连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

• 首先求$f(0)$：
  已知$f(x)=\vert x\vert$，将$x = 0$代入函数可得$f(0)=\vert 0\vert = 0$。
• 然后求$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$：
  因为绝对值函数需要分左右极限来讨论，当$x\to 0^+$时，$f(x)=x$，则$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$；当$x\to 0^-$时，$f(x)= -x$，则$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0$。
  由于$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=0$，所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=0$。
  又因为$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=f(0)=0$，满足函数连续的定义，所以函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续。

2. 判断函数在$x = 0$处的可导性

函数在某点可导的定义为左导数等于右导数，即$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$。

• 求左导数$f'_-(0)$：
  根据左导数的定义$f'_-(0)=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$，已知$f(x)=\vert x\vert$，$f(0)=0$，当$x\to 0^-$时，$f(x)= -x$，则$f'_-(0)=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^-} (-1)= -1$。
• 求右导数$f'_+(0)$：
  根据右导数的定义$f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$，已知$f(x)=\vert x\vert$，$f(0)=0$，当$x\to 0^+$时，$f(x)= x$，则$f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} 1 = 1$。
  由于$f'_-(0)= -1\neq f'_+(0)= 1$，不满足函数可导的定义，所以函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导。

综上，函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续但不可导。