题目
7.(1)设X1,X2,···,Nn是来自总体X的一个样本,且 sim pi (X), 求 X=0 -|||-的最大似然估计值.-|||-(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松-|||-分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计.使用-|||-下面122个观察值.下表中,r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数,s表示-|||-观察到的扳道员人数.-|||-r 0 1 2 3 4 5-|||-s 44 42 21 9 4 2
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们求出泊松分布中 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。首先，我们需要知道泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数。对于 $P\{ X=0\}$，我们有 $P\{ X=0\} =\dfrac {{\lambda }^{0}{e}^{-\lambda }}{0!}={e}^{-\lambda }$。
步骤 2：求 $\lambda$ 的最大似然估计值
根据第4题的结论，泊松分布参数 $\lambda$ 的最大似然估计值为样本均值 $\overline {x}$，即 $\hat {\lambda }=\overline {x}$。
步骤 3：利用最大似然估计的不变性
由于函数 $u={e}^{-\lambda }$ 具有单值反函数 $\lambda =-\ln u$，根据最大似然估计的不变性，$P\{ X=0\} ={e}^{-\lambda }$ 的最大似然估计值为 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\overline {x}}$。
步骤 4：计算 $\overline {x}$
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\overline {x}$。$\overline {x}=\dfrac {1}{122}\sum _{i=1}^{122}{x}_{i}=\dfrac {1}{122}(44\times 0+42\times 1+21\times 2+9\times 3+4\times 4+2\times 5)=\dfrac {137}{122}$。
步骤 5：计算 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值
将 $\overline {x}=\dfrac {137}{122}$ 代入 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\overline {x}}$，得到 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\dfrac {137}{122}}$。
题目要求我们求出泊松分布中 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值。首先，我们需要知道泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数。对于 $P\{ X=0\}$，我们有 $P\{ X=0\} =\dfrac {{\lambda }^{0}{e}^{-\lambda }}{0!}={e}^{-\lambda }$。
步骤 2：求 $\lambda$ 的最大似然估计值
根据第4题的结论，泊松分布参数 $\lambda$ 的最大似然估计值为样本均值 $\overline {x}$，即 $\hat {\lambda }=\overline {x}$。
步骤 3：利用最大似然估计的不变性
由于函数 $u={e}^{-\lambda }$ 具有单值反函数 $\lambda =-\ln u$，根据最大似然估计的不变性，$P\{ X=0\} ={e}^{-\lambda }$ 的最大似然估计值为 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\overline {x}}$。
步骤 4：计算 $\overline {x}$
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\overline {x}$。$\overline {x}=\dfrac {1}{122}\sum _{i=1}^{122}{x}_{i}=\dfrac {1}{122}(44\times 0+42\times 1+21\times 2+9\times 3+4\times 4+2\times 5)=\dfrac {137}{122}$。
步骤 5：计算 $P\{ X=0\}$ 的最大似然估计值
将 $\overline {x}=\dfrac {137}{122}$ 代入 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\overline {x}}$，得到 $\hat {P}\{ X=0\} ={e}^{-\dfrac {137}{122}}$。