题目
3(简答题)若两变量呈完全正相关，求两变量的线性回归方程。则其残差平方和(请在下方作答)
3(简答题)
若两变量呈完全正相关，求两变量的线性回归方程。则其残差平方和
(请在下方作答)
题目解答
答案
当两变量呈完全正相关时，相关系数 $r = 1$，所有数据点位于一条直线上。线性回归方程为：
\[
\hat{Y} = \hat{a} + \hat{b}X
\]
其中，斜率 $\hat{b} = \frac{s_Y}{s_X}$，截距 $\hat{a} = \bar{Y} - \hat{b}\bar{X}$。代入得：
\[
\hat{Y} = \left( \bar{Y} - \frac{s_Y}{s_X} \bar{X} \right) + \frac{s_Y}{s_X} X
\]
或简化为：
\[
\hat{Y} = \bar{Y} + \frac{s_Y}{s_X} (X - \bar{X})
\]
由于数据点完全拟合直线，残差 $e_i = Y_i - \hat{Y}_i = 0$，故残差平方和为：
\[
\boxed{0}
\]
解析
完全正相关意味着两个变量之间的关系是严格的线性关系，所有数据点都精确地位于一条直线上。此时，相关系数$r=1$，回归模型能够完美拟合数据，残差为零，因此残差平方和为0。
线性回归方程推导
- 斜率计算：
完全正相关时，斜率$\hat{b} = \frac{s_Y}{s_X}$（$s_Y$为因变量标准差，$s_X$为自变量标准差）。 - 截距计算：
截距$\hat{a} = \bar{Y} - \hat{b}\bar{X}$，其中$\bar{X}$和$\bar{Y}$分别为变量均值。 - 方程形式：
回归方程为$\hat{Y} = \bar{Y} + \frac{s_Y}{s_X}(X - \bar{X})$，或展开为$\hat{Y} = \left( \bar{Y} - \frac{s_Y}{s_X} \bar{X} \right) + \frac{s_Y}{s_X} X$。
残差平方和计算
- 残差定义：$e_i = Y_i - \hat{Y}_i$。
- 完全拟合：所有数据点均在回归线上，故$e_i = 0$。
- 平方和结果：$\sum e_i^2 = 0$。