6.根据函数极限的定义证明:-|||-(1) lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2);-|||-(2) lim _(xarrow +infty )dfrac (sin x)(sqrt {x)}=0.

步骤 1：证明 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}=\dfrac {1}{2}$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}$ 与 $\dfrac {1}{2}$ 的差的绝对值：
$$
\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right| = \left|\dfrac {1}{2{x}^{3}}\right| = \dfrac {1}{2|x|^{3}}
$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$
\dfrac {1}{2|x|^{3}} < \varepsilon
$$
我们解这个不等式得到：
$$
|x| > \dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}
$$
因此，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，只要取 $X = \dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$，当 $|x| > X$ 时，就有：
$$
\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right| < \varepsilon
$$
这证明了 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}=\dfrac {1}{2}$。

步骤 2：证明 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}$ 与 $0$ 的差的绝对值：
$$
\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right| = \left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}\right| \leqslant \dfrac {1}{\sqrt {x}}
$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$
\dfrac {1}{\sqrt {x}} < \varepsilon
$$
我们解这个不等式得到：
$$
x > \dfrac {1}{\varepsilon^{2}}
$$
因此，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，只要取 $X = \dfrac {1}{\varepsilon^{2}}$，当 $x > X$ 时，就有：
$$
\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right| < \varepsilon
$$
这证明了 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$。