题目

设 X_1, X_2, ... X_n 是正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，其中 sigma^2 未知，检验问题 H_0: mu = mu_0, H_1: mu neq mu_0，则选取的统计量及其拒绝域分别是______A. T = (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n))，|T| > t_((alpha)/(2))(n-1)B. U = (overline(X) - mu_0)/(sigma/sqrt(n))，|U| > u_((alpha)/(2))C. T = (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n))，|T| > t_((alpha)/(2))(n)D. chi^2 = ((n-1)S^2)/(sigma^2)，chi^2 > chi_((alpha)/(2))^2(n-1)

设 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 是正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\sigma^2$ 未知，检验问题 $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$，则选取的统计量及其拒绝域分别是______

A. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，$|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

B. $U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，$|U| > u_{\frac{\alpha}{2}}$

C. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，$|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n)$

D. $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，$\chi^2 > \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)$

题目解答

A. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$，$|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

本题考查正态总体均值的假设检验，解题思路如下：

首先明确本题的条件，总体方差 $\sigma^2$ 未知，要检验均值 $\mu$ 是否等于 $\mu_0$。
根据正态总体均值假设检验的知识，当总体方差未知时，应使用 t 检验。
计算 t 检验的统计量，设样本均值为 $\overline{X}$，样本标准差为 $S$，则 t 检验的统计量为：
$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
确定该统计量的分布，该统计量服从自由度为 $n - 1$ 的 t 分布。
对于双侧检验 $H_1: \mu \neq \mu_0$，确定拒绝域。设显著性水平为 $\alpha$，则拒绝域为：
$|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$
分析各个选项：
- 选项 A：统计量为 $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，拒绝域为 $|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$，符合上述计算和分析，正确。
- 选项 B：使用的统计量为 $U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，这是在总体方差 $\sigma^2$ 已知时使用的统计量，不适用本题条件，错误。
- 选项 C：统计量为 $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$ 正确，但拒绝域中自由度错误，应为 $n - 1$，错误。
- 选项 D：使用的统计量为 $\chi^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，这是用于方差检验的统计量，不适用本题要检验均值的问题，错误。