练习2 已知A=[alpha_(1),alpha_(2),...,alpha_(m)],B=[beta_(1),beta_(2),...,beta_(m)]且PA=B，其中P是可逆矩阵，若alpha_(1),alpha_(3),alpha_(5)线性相(无)关，则beta_(1),beta_(3),beta_(5)线性相(无)关.

考查要点：本题主要考查可逆矩阵对向量组线性相关性的保持性。关键在于理解矩阵乘法（特别是可逆矩阵作用）如何影响向量组的线性相关性。

核心思路：

• 可逆矩阵对应的线性变换是可逆的，因此不会改变向量组的线性相关性。
• 若向量组$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$线性相关（无关），则通过可逆矩阵$P$变换后的向量组$\beta_1, \beta_3, \beta_5$必然保持相同的线性相关性。

破题关键：

• 明确$\beta_i = P\alpha_i$，通过线性组合的等价变形，建立$\alpha$与$\beta$线性相关性的等价关系。

已知$PA = B$，即$\beta_i = P\alpha_i$（$i = 1, 3, 5$）。需分两种情况讨论：

情况1：若$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$线性相关

存在不全为零的系数$k_1, k_2, k_3$，使得：
$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_5 = 0$
对等式两边左乘可逆矩阵$P$，得：
$k_1P\alpha_1 + k_2P\alpha_3 + k_3P\alpha_5 = P \cdot 0 = 0 \implies k_1\beta_1 + k_2\beta_3 + k_3\beta_5 = 0$
因此，$\beta_1, \beta_3, \beta_5$线性相关。

情况2：若$\beta_1, \beta_3, \beta_5$线性相关

存在不全为零的系数$l_1, l_2, l_3$，使得：
$l_1\beta_1 + l_2\beta_3 + l_3\beta_5 = 0$
将$\beta_i = P\alpha_i$代入，得：
$l_1P\alpha_1 + l_2P\alpha_3 + l_3P\alpha_5 = 0 \implies P(l_1\alpha_1 + l_2\alpha_3 + l_3\alpha_5) = 0$
由于$P$可逆，其零空间仅含零向量，故：
$l_1\alpha_1 + l_2\alpha_3 + l_3\alpha_5 = 0$
因此，$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$线性相关。

结论：$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$与$\beta_1, \beta_3, \beta_5$的线性相关性完全一致。