题目

1.将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现正面的次数，以Y表示3次中出现正面的次数，求X，Y的联合分布律及边缘分布律.

题目解答

答案

将一枚硬币掷3次，设 $X$ 表示前2次中出现正面的次数，$Y$ 表示总正面次数。 **联合分布律**： - $X=0$（前两次无正面）： $Y=0$（全反）：$\frac{1}{8}$，$Y=1$（第三次正）：$\frac{1}{8}$，其他 $Y$ 不可能。 - $X=1$（前两次一次正）： $Y=1$（第三次反）：$\frac{1}{4}$，$Y=2$（第三次正）：$\frac{1}{4}$，其他 $Y$ 不可能。 - $X=2$（前两次全正）： $Y=2$（第三次反）：$\frac{1}{8}$，$Y=3$（第三次正）：$\frac{1}{8}$，其他 $Y$ 不可能。 **边缘分布律**： - $P(X=0)=\frac{1}{4}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=\frac{1}{4}$。 - $P(Y=0)=\frac{1}{8}$，$P(Y=1)=\frac{3}{8}$，$P(Y=2)=\frac{3}{8}$，$P(Y=3)=\frac{1}{8}$。 **答案**： \[ \boxed{ \begin{array}{c|cccc|c} & Y=0 & Y=1 & Y=2 & Y=3 & P(X=x) \\ \hline X=0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ X=1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{2} \\ X=2 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ \hline P(Y=y) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ \end{array} } \]

解析

步骤 1：确定所有可能的事件
- 硬币掷3次，每次有正面（H）或反面（T）两种可能，因此总共有$2^3=8$种可能的结果。
- $X$表示前两次中出现正面的次数，$Y$表示三次中出现正面的次数。$X$的可能值为0, 1, 2，$Y$的可能值为0, 1, 2, 3。

步骤 2：计算联合分布律
- 对于每种可能的$(X,Y)$组合，计算其发生的概率。
- $X=0$时，前两次都是反面，$Y$只能是0或1（第三次是正面或反面），概率分别为$\frac{1}{8}$和$\frac{1}{8}$。
- $X=1$时，前两次中一次正面，$Y$可以是1或2（第三次是反面或正面），概率分别为$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{4}$。
- $X=2$时，前两次都是正面，$Y$可以是2或3（第三次是反面或正面），概率分别为$\frac{1}{8}$和$\frac{1}{8}$。

步骤 3：计算边缘分布律
- $P(X=x)$是$X$的边缘分布律，$P(Y=y)$是$Y$的边缘分布律。
- $P(X=0)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$，$P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$。
- $P(Y=0)=\frac{1}{8}$，$P(Y=1)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$，$P(Y=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$，$P(Y=3)=\frac{1}{8}$。