题目
设随机变量 X sim N(0,1)，且 X_1, X_2, dotsc, X_n 是来自总体 X 的一个简单随机样本，overline(X), S^2分别是样本均值和样本方差，则服从自由度为 n-1的 x^2分布的随机变量是 () A. (n-1)overline(X) B. S^2 C. (n-1)S^2 D. sum_(t=0)^n X_i^2
$$ 设随机变量 $X \sim N(0,1)$，且 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $是来自总体 $X $的一个简单随机样本，$\overline{X}, S^2$分别是样本均值和样本方差，则服从自由度为 $n-1$的 $x^2$分布的随机变量是 () $$
- A. $$ $(n-1)\overline{X}$ $$
- B. $$ $S^2$ $$
- C. $$ $(n-1)S^2$ $$
- D. $$ $\sum_{t=0}^{n}\ \ X\_i^2$ $$
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解 $X \sim N(0,1)$
随机变量 $X$ 服从标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。
步骤 2：理解样本均值和样本方差
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。
步骤 3：理解 $\chi^2$ 分布
$\chi^2$ 分布是正态分布随机变量的平方和的分布。如果 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 是来自标准正态分布的独立随机变量，则 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布。
步骤 4：分析选项
A. $(n-1)\overline{X}$：样本均值的线性变换，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。
B. $S^2$：样本方差，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。
C. $(n-1)S^2$：样本方差乘以自由度，满足 $\chi^2$ 分布的定义。
D. $\sum_{t=0}^{n} X_i^2$：求和的下标从0开始，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。
随机变量 $X$ 服从标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。
步骤 2：理解样本均值和样本方差
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。
步骤 3：理解 $\chi^2$ 分布
$\chi^2$ 分布是正态分布随机变量的平方和的分布。如果 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 是来自标准正态分布的独立随机变量，则 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布。
步骤 4：分析选项
A. $(n-1)\overline{X}$：样本均值的线性变换，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。
B. $S^2$：样本方差，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。
C. $(n-1)S^2$：样本方差乘以自由度，满足 $\chi^2$ 分布的定义。
D. $\sum_{t=0}^{n} X_i^2$：求和的下标从0开始，不满足 $\chi^2$ 分布的定义。