题目
例5.1 某系统由100个独立工作的部件组成，至少85个部件完好系统才能正常工作。若每个部件的可靠性为0.9，求系统的可靠性。(Phi(5/3)=0.9525)
例5.1 某系统由100个独立工作的部件组成，至少85个部件完好系统才能正常工作。若每个部件的可靠性为0.9，求系统的可靠性。($\Phi(5/3)=0.9525)$
题目解答
答案
设 $X$ 为完好的部件数，$X \sim B(100, 0.9)$。期望 $E(X) = 90$，方差 $D(X) = 9$。由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(90, 9)$。
求 $P(X \geq 85)$：
\[
P\left(\frac{X - 90}{3} \geq -\frac{5}{3}\right) = 1 - P\left(\frac{X - 90}{3} < -\frac{5}{3}\right) = \Phi\left(\frac{5}{3}\right) = 0.9525
\]
**答案：** $\boxed{0.9525}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为完好的部件数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$，即 $X \sim B(100, 0.9)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。即 $X \sim N(90, 9)$。
步骤 4：计算系统可靠性
系统可靠性即为至少85个部件完好的概率，即 $P(X \geq 85)$。将 $X$ 标准化，得到 $P\left(\frac{X - 90}{3} \geq -\frac{5}{3}\right)$。根据标准正态分布表，$P\left(\frac{X - 90}{3} < -\frac{5}{3}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{5}{3}\right)$。已知 $\Phi\left(\frac{5}{3}\right) = 0.9525$，所以 $P\left(\frac{X - 90}{3} \geq -\frac{5}{3}\right) = \Phi\left(\frac{5}{3}\right) = 0.9525$。
设 $X$ 为完好的部件数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$，即 $X \sim B(100, 0.9)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。即 $X \sim N(90, 9)$。
步骤 4：计算系统可靠性
系统可靠性即为至少85个部件完好的概率，即 $P(X \geq 85)$。将 $X$ 标准化，得到 $P\left(\frac{X - 90}{3} \geq -\frac{5}{3}\right)$。根据标准正态分布表，$P\left(\frac{X - 90}{3} < -\frac{5}{3}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{5}{3}\right)$。已知 $\Phi\left(\frac{5}{3}\right) = 0.9525$，所以 $P\left(\frac{X - 90}{3} \geq -\frac{5}{3}\right) = \Phi\left(\frac{5}{3}\right) = 0.9525$。