3.设X服从标准正态分布,求 =|x| 的概率密度.

考查要点：本题主要考查绝对值随机变量的概率密度求解，需要掌握累积分布函数法和标准正态分布的性质。

解题核心思路：

1. 确定Y的取值范围：由于$Y=|X|$，故$Y \geq 0$。
2. 通过累积分布函数（CDF）求解：先求出$Y$的CDF $F_Y(y)$，再对$y$求导得到概率密度函数（PDF）。
3. 利用标准正态分布的对称性：标准正态分布的PDF是偶函数，即$\phi(-x) = \phi(x)$，简化求导过程。

破题关键点：

• CDF的表达式：$F_Y(y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y)$，需用标准正态分布的CDF $\Phi(x)$表示。
• 导数计算：对$F_Y(y)$求导时，注意链式法则的应用，结合标准正态分布的对称性。

步骤1：写出Y的累积分布函数
当$y \geq 0$时，
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = \Phi(y) - \Phi(-y),$
其中$\Phi(x)$是标准正态分布的CDF。
当$y < 0$时，$F_Y(y) = 0$。

步骤2：对CDF求导得到PDF
对$F_Y(y)$关于$y$求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left[ \Phi(y) - \Phi(-y) \right].$
根据导数的计算规则：
$\frac{d}{dy} \Phi(y) = \phi(y), \quad \frac{d}{dy} \Phi(-y) = -\phi(-y).$
因此，
$f_Y(y) = \phi(y) + \phi(-y).$

步骤3：利用标准正态分布的对称性
标准正态分布的PDF $\phi(x)$是偶函数，即$\phi(-y) = \phi(y)$，故：
$f_Y(y) = \phi(y) + \phi(y) = 2\phi(y).$

步骤4：代入标准正态分布的PDF表达式
标准正态分布的PDF为：
$\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}.$
因此，
$f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2}, \quad y \geq 0.$
当$y < 0$时，$f_Y(y) = 0$。