4.设pn,qn如(8)式所定义.证明:若∑un条件收敛,则级数∑pn与∑qn都是发散的.-|||-5.写出下列级数的乘积:-|||-(1) (sum _(n=1)^infty n(x)^n-1)(sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1n(x)^n-1);-|||-(2) (sum _(n=0)^infty dfrac (1)(n!))(sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n}(n!))

第4题：
本题考查条件收敛级数的性质。关键点在于理解条件收敛的定义（级数收敛但绝对值级数发散），并利用正项部分和负项部分的发散性进行证明。若假设其中一个部分级数收敛，将导致绝对收敛，与条件收敛矛盾。

第5题：
（1）考查幂级数的乘积展开。需通过柯西乘积公式计算两个幂级数的乘积，注意观察展开后的项规律，发现仅保留偶次项且系数呈现特定模式。
（2）考查指数函数级数展开的乘积。直接利用$e^x \cdot e^{-x} = 1$的性质，结合级数乘积的柯西乘积公式即可得出结果。

第4题

关键思路：

1. 条件收敛的定义：$\sum u_n$收敛，但$\sum |u_n|$发散。
2. 分解正负项：设$p_n = \max\{u_n, 0\}$，$q_n = \max\{-u_n, 0\}$，则$u_n = p_n - q_n$，$|u_n| = p_n + q_n$。
3. 反证法：若$\sum p_n$收敛，则$\sum q_n = \sum (|u_n| - p_n)$发散（因$\sum |u_n|$发散），同理若$\sum q_n$收敛，$\sum p_n$也发散。因此两者必同时发散。

第5题

（1）

步骤：

1. 识别级数形式：
   • $\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$（$|x| < 1$）
   • $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n x^{n-1} = \frac{1}{(1+x)^2}$（$|x| < 1$）
2. 乘积化简：
   $\frac{1}{(1-x)^2} \cdot \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1-x^2)^2}$
3. 展开乘积级数：
   $\frac{1}{(1-x^2)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{2(n-1)} = 1 + 2x^2 + 3x^4 + \cdots$

（2）

步骤：

1. 识别级数形式：
   • $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e$
   • $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}$
2. 直接相乘：
   $e \cdot e^{-1} = 1$