题目
3.某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55，0.108^2)，某日测得5炉铁水，其含碳量分别为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.47. 若标准差没有改变，试问铁水含碳量有无变化(alpha=0.05)?
3.某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布$N(4.55，0.108^{2})$，某日测得5炉铁水，其含碳量分别为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.47. 若标准差没有改变，试问铁水含碳量有无变化($\alpha=0.05$)?
题目解答
答案
已知铁水含碳量服从正态分布 $N(4.55, 0.108^2)$，样本数据为：4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.47。
计算样本均值：
\[
\overline{X} = \frac{4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.47}{5} = 4.384
\]
构造 $Z$ 统计量（已知总体标准差）：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.384 - 4.55}{0.108 / \sqrt{5}} \approx -3.436
\]
双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} \approx 1.96$。
\[
|Z| = 3.436 > 1.96 \quad \Rightarrow \quad \text{拒绝 } H_0
\]
**结论：** 铁水含碳量有显著变化。
\[
\boxed{\text{有显著变化}}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的样本数据，计算样本均值 $\overline{X}$。
\[ \overline{X} = \frac{4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.47}{5} = 4.384 \]
步骤 2：构造 $Z$ 统计量
已知总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本量 $n = 5$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$。构造 $Z$ 统计量。
\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.384 - 4.55}{0.108 / \sqrt{5}} \approx -3.436 \]
步骤 3：双侧检验
双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} \approx 1.96$。比较 $|Z|$ 和临界值。
\[ |Z| = 3.436 > 1.96 \quad \Rightarrow \quad \text{拒绝 } H_0 \]
根据题目给出的样本数据，计算样本均值 $\overline{X}$。
\[ \overline{X} = \frac{4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.47}{5} = 4.384 \]
步骤 2：构造 $Z$ 统计量
已知总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本量 $n = 5$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$。构造 $Z$ 统计量。
\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.384 - 4.55}{0.108 / \sqrt{5}} \approx -3.436 \]
步骤 3：双侧检验
双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} \approx 1.96$。比较 $|Z|$ 和临界值。
\[ |Z| = 3.436 > 1.96 \quad \Rightarrow \quad \text{拒绝 } H_0 \]