题目

4、[选做题]某公司准备通过考试按照成绩高低招聘250名新员工,共有1000名报名考试.考后从该公司透露出来的信息是,90分以上的有35人,60分以下的有115人,考试成绩满分100分.假设考试成绩服从正态分布,请问:若某人考试成绩为80分,该人是否能被录用？

题目解答

答案

已知，考试成绩 $X$ 服从正态分布，因此设 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$ .根据题意有 $P\left(X\ge90\right)=1-P\left(X<90\right)=$ $1-\Phi\left(\frac{90-\mu}{\sigma}\right)=\frac{35}{1000}$ , $P\left(X<60\right)=\Phi\left(\frac{60-\mu}{\sigma}\right)=\frac{115}{1000}$ ,

所以 $\Phi\left(\frac{90-\mu}{\sigma}\right)=\frac{965}{1000}$ ， $\Phi\left(\frac{60-\mu}{\sigma}\right)=\frac{115}{1000}$

即 $\frac{90-\mu}{\sigma}=1.8$

$\frac{60-\mu}{\sigma}=-1.20$

解得 $\mu=72,\sigma=10$

设录用的最低分为 $x$ 分，则 $P\left(X\ge x\right)=1-\Phi\left(\frac{x-72}{10}\right)=\frac{250}{1000}$

得 $\Phi\left(\frac{x-72}{10}\right)=0.75$ ，得到 $x=78.75$ 分

综上所述，在不考虑其他因素的前提下，这个人是能被录用的。

解析

步骤 1：确定正态分布参数
根据题意，考试成绩服从正态分布，设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。已知90分以上的有35人，60分以下的有115人，可以得到以下两个概率：
$P(X\geqslant 90)=\dfrac {35}{1000}$，$P(X\lt 60)=\dfrac {115}{1000}$。
步骤 2：计算正态分布参数
根据正态分布的性质，可以得到：
$P(X\geqslant 90)=1-P(X\lt 90)=1-(\dfrac {90-\mu }{\sigma })=\dfrac {35}{1000}$，
$P(X\lt 60)=(\dfrac {60-\mu }{\sigma })=\dfrac {115}{1000}$。
解得：$\dfrac {90-\mu }{\sigma }=1.8$，$\dfrac {60-\mu }{\sigma }=-1.20$。
解得：$\mu =72$，$\sigma =10$。
步骤 3：计算录用的最低分
设录用的最低分为$x$分，则$P(X\geqslant x)=1-(\dfrac {x-72}{10})=\dfrac {250}{1000}$。
解得：$(\dfrac {x-72}{10})=0.75$，得到$x=78.75$分。
步骤 4：判断是否能被录用
根据步骤3，录用的最低分为78.75分，而某人考试成绩为80分，因此该人能被录用。