题目
130.设x1,x2,x1,x..........Ym分别来自点体N (μ1,σ1^2)和N(μt2,σ2),它们相互独立,且-|||-({S)_(n)}^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-X)}^2 ({S)_(m)}^2=dfrac (1)(m-1)sum _(i=1)^m(({r)_(i)-Y)}^2, 则 =dfrac ({{S)_(n)}^2}({{S)_(m)}^2}cdot dfrac ({{sigma )_(2)}^2}({{sigma )_(1)}^2}sim __ _。
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本方差的分布
样本方差 ${{S}_{n}}^{2}$ 和 ${{S}_{m}}^{2}$ 分别是来自正态分布总体 $N(μ1,σ1^2)$ 和 $N(μ2,σ2^2)$ 的样本方差。根据统计学原理，当样本来自正态分布时，样本方差的分布可以转换为卡方分布。具体来说，$(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2$ 和 $(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2$ 分别服从自由度为 $n-1$ 和 $m-1$ 的卡方分布。
步骤 2：构建F分布
F分布是两个独立的卡方分布的比值，其中每个卡方分布除以其自由度。因此，$F=\dfrac {{{S}_{n}}^{2}}{{{S}_{m}}^{2}}\cdot \dfrac {{{\sigma }_{2}}^{2}}{{{({x}_{1}}^{2}}\sim )}^{2}$ 可以被看作是两个卡方分布的比值，即 $F=\dfrac{(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2}{(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2}$。由于 $(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2$ 和 $(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2$ 分别服从自由度为 $n-1$ 和 $m-1$ 的卡方分布，因此 $F$ 服从自由度为 $(n-1,m-1)$ 的F分布。
样本方差 ${{S}_{n}}^{2}$ 和 ${{S}_{m}}^{2}$ 分别是来自正态分布总体 $N(μ1,σ1^2)$ 和 $N(μ2,σ2^2)$ 的样本方差。根据统计学原理，当样本来自正态分布时，样本方差的分布可以转换为卡方分布。具体来说，$(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2$ 和 $(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2$ 分别服从自由度为 $n-1$ 和 $m-1$ 的卡方分布。
步骤 2：构建F分布
F分布是两个独立的卡方分布的比值，其中每个卡方分布除以其自由度。因此，$F=\dfrac {{{S}_{n}}^{2}}{{{S}_{m}}^{2}}\cdot \dfrac {{{\sigma }_{2}}^{2}}{{{({x}_{1}}^{2}}\sim )}^{2}$ 可以被看作是两个卡方分布的比值，即 $F=\dfrac{(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2}{(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2}$。由于 $(n-1){{S}_{n}}^{2}/σ1^2$ 和 $(m-1){{S}_{m}}^{2}/σ2^2$ 分别服从自由度为 $n-1$ 和 $m-1$ 的卡方分布，因此 $F$ 服从自由度为 $(n-1,m-1)$ 的F分布。