11.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ) theta (x)^-(theta +1), xgt 1 0, .

步骤 1：求解矩估计
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据给定的概率密度函数，我们有：
$$
E(X) = \int_{1}^{\infty} x \cdot \theta x^{-(\theta + 1)} dx
$$
步骤 2：计算期望值
计算上述积分，我们得到：
$$
E(X) = \int_{1}^{\infty} \theta x^{-\theta} dx = \theta \int_{1}^{\infty} x^{-\theta} dx
$$
$$
= \theta \left[ \frac{x^{-\theta + 1}}{-\theta + 1} \right]_{1}^{\infty} = \theta \left[ \frac{1}{\theta - 1} \right] = \frac{\theta}{\theta - 1}
$$
步骤 3：求解矩估计
根据矩估计的定义，我们有：
$$
\hat{\theta} = \frac{X}{X - 1}
$$
步骤 4：求解最大似然估计
首先，我们需要写出似然函数L(θ)。根据给定的概率密度函数，我们有：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{-(\theta + 1)}
$$
步骤 5：计算对数似然函数
计算对数似然函数，我们得到：
$$
\ln L(\theta) = n \ln \theta - (\theta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i
$$
步骤 6：求解似然方程
对对数似然函数求导，我们得到：
$$
\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i
$$
令导数等于0，我们得到似然方程：
$$
\frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0
$$
步骤 7：求解最大似然估计
解似然方程，我们得到最大似然估计：
$$
\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i}
$$