题目
已知随机变量backsim N(2,4), (1)=0.8413,则 P ( 2 < X < 4 ) = ( ) .A. 0 . 8413 B.0 . 1587 C.0 . 3413 D. 0.5
已知随机变量
,则 P ( 2 < X < 4 ) = ( ) .
A. 0 . 8413 B.0 . 1587 C.0 . 3413 D. 0.5
题目解答
答案
根据随机变量正太分布的概率公式：若随机变量服从正态分布：
，则
∵
∴
∴
根据：
∵题目中给出
∴
∴选C
解析
步骤 1：理解正态分布的概率公式
随机变量$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，则$P(x_1 < X < x_2) = F(x_2) - F(x_1)$，其中$F(x)$是累积分布函数，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。
步骤 2：确定均值和标准差
题目中给出$X\sim N(2,4)$，所以$\mu = 2$，$\sigma^2 = 4$，因此$\sigma = 2$。
步骤 3：计算$P(2 < X < 4)$
根据正态分布的性质，$P(2 < X < 4) = \Phi\left(\frac{4-2}{2}\right) - \Phi\left(\frac{2-2}{2}\right)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
根据题目给出的$Q(1) = 0.8413$，我们知道$\Phi(1) = 0.8413$，而$\Phi(0) = 0.5$。
因此，$P(2 < X < 4) = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$。
随机变量$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，则$P(x_1 < X < x_2) = F(x_2) - F(x_1)$，其中$F(x)$是累积分布函数，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。
步骤 2：确定均值和标准差
题目中给出$X\sim N(2,4)$，所以$\mu = 2$，$\sigma^2 = 4$，因此$\sigma = 2$。
步骤 3：计算$P(2 < X < 4)$
根据正态分布的性质，$P(2 < X < 4) = \Phi\left(\frac{4-2}{2}\right) - \Phi\left(\frac{2-2}{2}\right)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
根据题目给出的$Q(1) = 0.8413$，我们知道$\Phi(1) = 0.8413$，而$\Phi(0) = 0.5$。
因此，$P(2 < X < 4) = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$。