某市常住居民 70 万人,抽选 1400 人进行调查,得知人均年食糖需要量为 5.6 公斤, 样本方差为 40.46 ,根据上述资料,要求:(1)用单纯随机抽样方式的重复抽样公式,计算抽样误差。(2)若置信度为 95%,试估计样本年人均食糖需求量置信区间,并推断全市食糖需求量 的置信区间。

考查要点：本题主要考查抽样误差的计算及置信区间的估计，涉及统计学中的基本概念和方法。

解题核心思路：

1. 抽样误差：在重复抽样下，抽样误差（标准误差）的计算公式为 $\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}$，其中 $\sigma^2$ 是样本方差，$n$ 是样本量。
2. 置信区间：利用样本均值 $\bar{X}$ 和标准误差，结合置信度对应的 $Z$ 值，计算样本均值的置信区间，再通过总体总量推断全市需求量的置信区间。

破题关键点：

• 公式选择：明确区分抽样误差与置信区间公式的适用条件。
• 参数代入：正确代入样本方差、样本量、置信度对应的 $Z$ 值（95%对应 $Z=1.96$）。
• 总量推断：将人均置信区间扩展为总量置信区间时，需乘以总体数量。

(1) 抽样误差计算

公式：
$\text{标准误差} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{40.46}{1400}} \approx 0.17 \, \text{公斤}$

(2) 置信区间估计

样本均值的置信区间

公式：
$\bar{X} \pm Z \cdot \text{标准误差} = 5.6 \pm 1.96 \cdot 0.17 \approx 5.6 \pm 0.33$
区间：
$(5.6 - 0.33, 5.6 + 0.33) = (5.27, 5.93) \, \text{公斤}$

全市需求量的置信区间

总量计算：

• 下限：$5.27 \times 700,000 = 3,689,000 \, \text{公斤}$
• 上限：$5.93 \times 700,000 = 4,151,000 \, \text{公斤}$
  区间：
  $(3,689,000, 4,151,000) \, \text{公斤}$