题目
若_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n，且相互独立，记_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n，则当很大时，近似服从（）_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n非标准正态分布_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n标准正态分布_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n二项分布_(i)sim b(n,p), =1,2,... ,n不确定
若
，且相互独立，记
，则当很大时，近似服从（）
非标准正态分布
标准正态分布
二项分布
不确定
题目解答
答案
答案：（
）
解：
∵独立同分布的中心极限定理：
独立同分布的
个随机变量，有相同的期望和方差
，当充分大时，随机变量的算术平均近似服从正态分布，即
又∵本题中
∴
且∵
∴当充分大时，随机变量
服从标准正态分布。
解析
步骤 1：独立同分布的中心极限定理
独立同分布的中心极限定理指出，如果有一系列独立同分布的随机变量，且每个随机变量都有相同的期望和方差，那么当样本量充分大时，这些随机变量的算术平均值近似服从正态分布。
步骤 2：二项分布的期望和方差
对于二项分布${X}_{i}\sim b(n,p)$，其期望$E(X_i) = np$，方差$Var(X_i) = np(1-p)$。
步骤 3：标准化变换
给定${T}_{n}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-np}{\sqrt {np(1-p)}}$，当$n$很大时，根据中心极限定理，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(np, np(1-p))$。因此，${T}_{n}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
独立同分布的中心极限定理指出，如果有一系列独立同分布的随机变量，且每个随机变量都有相同的期望和方差，那么当样本量充分大时，这些随机变量的算术平均值近似服从正态分布。
步骤 2：二项分布的期望和方差
对于二项分布${X}_{i}\sim b(n,p)$，其期望$E(X_i) = np$，方差$Var(X_i) = np(1-p)$。
步骤 3：标准化变换
给定${T}_{n}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-np}{\sqrt {np(1-p)}}$，当$n$很大时，根据中心极限定理，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(np, np(1-p))$。因此，${T}_{n}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。