23.判断题(2分)若X~N(0,1),则Φ(-x)=1-Φ(x),P(|X|≤a)=2Φ(a)-1.（）√ ×

考查要点：本题主要考查标准正态分布的对称性及其概率计算公式的理解与应用。

解题核心思路：

1. 标准正态分布的对称性：利用标准正态分布关于$x=0$对称的性质，推导$\Phi(-x)$与$\Phi(x)$的关系。
2. 绝对值概率的转化：将$P(|X| \leq a)$转化为区间概率$P(-a \leq X \leq a)$，结合对称性公式进行计算。

破题关键点：

• 对称性公式：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$是标准正态分布的核心性质。
• 区间概率拆分：$P(-a \leq X \leq a) = \Phi(a) - \Phi(-a)$，再代入对称性公式即可化简。

关于$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$的推导

1. 对称性分析：
   标准正态分布的概率密度函数$f(x)$关于$y$轴对称，即$f(-x) = f(x)$。因此，$X \leq -x$的概率等于$X \geq x$的概率：
   $\Phi(-x) = P(X \leq -x) = P(X \geq x).$
2. 概率补集关系：
   由概率的补集性质，$P(X \geq x) = 1 - P(X < x) = 1 - \Phi(x)$。因此：
   $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x).$

关于$P(|X| \leq a) = 2\Phi(a) - 1$的推导

1. 绝对值概率展开：
   $|X| \leq a$等价于$-a \leq X \leq a$，因此：
   $P(|X| \leq a) = P(-a \leq X \leq a) = \Phi(a) - \Phi(-a).$
2. 代入对称性公式：
   根据$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$，代入得：
   $\Phi(a) - \Phi(-a) = \Phi(a) - (1 - \Phi(a)) = 2\Phi(a) - 1.$