6.求极限lim_(xtoinfty)(1+x^2)^(1)/(x).(6分)<|im_end|>请输入内容或上传图片...
题目解答
答案
解题思路
本题属于幂指函数求极限的问题，极限形式为 $\infty^0$ 型。通常的切入点是利用对数恒等式 $u^v = e^{v \ln u}$ 将幂指函数转化为指数函数，再结合洛必达法则求解指数部分的极限。
核心解题步骤
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识别极限类型：
当 $x \to \infty$ 时，底数 $1+x^2 \to \infty$，指数 $\frac{1}{x} \to 0$。因此，这是一个 $\infty^0$ 型的未定式极限。 -
利用对数恒等式变形：
根据公式 $A^B = e^{B \ln A}$，将原式转化为以 $e$ 为底的指数形式：
$(1+x^2)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1+x^2)} = e^{\frac{\ln(1+x^2)}{x}}$
此时，求原极限就转化为了求指数部分的极限：$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x}$。 -
求解指数部分的极限：
观察指数部分的极限式 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x}$。
当 $x \to \infty$ 时，分子 $\ln(1+x^2) \to \infty$，分母 $x \to \infty$。这是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的未定式，可以使用洛必达法则。 -
应用洛必达法则：
对分子和分母分别求导：- 分子求导：$[\ln(1+x^2)]' = \frac{1}{1+x^2} \cdot (1+x^2)' = \frac{2x}{1+x^2}$
- 分母求导：$[x]' = 1$
应用洛必达法则后，极限变为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1+x^2}$ -
计算化简后的极限：
对于 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1+x^2}$，分子最高次幂为 $1$ 次，分母最高次幂为 $2$ 次。
分子分母同时除以 $x^2$：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^2} + 1} = \frac{0}{0 + 1} = 0$
所以，指数部分的极限为 $0$。 -
得出最终结果：
将指数部分的极限结果代回原指数函数中：
$\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$
标准答案
解：
原极限为 $\infty^0$ 型未定式，利用对数恒等式进行变形：
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln(1+x^2)} \\ &= e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x}} \end{aligned}$
对于指数部分的极限，当 $x \to \infty$ 时，属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，应用洛必达法则：
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{[\ln(1+x^2)]'}{[x]'} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot 2x}{1} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1+x^2} \end{aligned}$
分子分母同时除以 $x^2$ 求极限：
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1+x^2} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^2} + 1} \\ &= \frac{0}{0 + 1} \\ &= 0 \end{aligned}$
将指数的极限结果代回原式：
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{x}} &= e^0 \\ &= \mathbf{1} \end{aligned}$