若D(X)=25,D(Y)=36,ρxy=-0.5,则D(X-Y)=___

考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及协方差与相关系数的关系。

解题核心思路：

1. 利用方差公式：对于两个随机变量$X$和$Y$，差的方差公式为$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{COV}(X,Y)$。
2. 通过相关系数求协方差：已知相关系数$\rho_{XY}$时，协方差$\text{COV}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$，其中$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别为$X$和$Y$的标准差。

破题关键点：

• 正确代入公式：注意符号处理，尤其是协方差为负数时对最终结果的影响。

步骤1：计算协方差$\text{COV}(X,Y)$

• 已知$\rho_{XY} = -0.5$，$D(X) = 25$，$D(Y) = 36$，则标准差$\sigma_X = \sqrt{25} = 5$，$\sigma_Y = \sqrt{36} = 6$。
• 代入公式：
  $\text{COV}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = -0.5 \cdot 5 \cdot 6 = -15$

步骤2：计算$D(X-Y)$

• 根据方差公式：
  $D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{COV}(X,Y)$
• 代入已知值：
  $D(X-Y) = 25 + 36 - 2 \cdot (-15) = 61 + 30 = 91$