题目
判断下列命题是否正确，若命题错误，请给出反例.(1) 若 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处偏导数存在，则 lim_((x,y) to (x_0, y_0)) f(x,y) 一定存在.(2) 若 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处偏导数存在，则 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处一定连续.(3) 若 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处偏导数存在，则 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处一定可微.(4) 若 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处可微，则 lim_((x,y) to (x_0, y_0)) f(x,y) 一定存在.(5) 若 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处可微，则 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处偏导数一定存在.
判断下列命题是否正确，若命题错误，请给出反例. (1) 若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处偏导数存在，则 $\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)$ 一定存在. (2) 若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处偏导数存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处一定连续. (3) 若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处偏导数存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处一定可微. (4) 若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则 $\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)$ 一定存在. (5) 若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处偏导数一定存在.
题目解答
答案
我们逐条分析这五个命题的正确性，并在命题错误时给出反例。
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### **(1) 若 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处偏导数存在，则 $ \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) $ 一定存在。**
**错误。**
**反例：**
考虑函数：
$$
f(x, y) =
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0) \\
0, & (x, y) = (0, 0)
\end{cases}
$$
在点 $ (0, 0) $ 处，计算偏导数：
- $ \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0 $
- $ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h} = 0 $
所以偏导数存在。
但极限 $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) $ 不存在，因为从不同方向趋近原点，极限值不同：
- 沿 $ y = x $：$ f(x,x) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $
- 沿 $ y = 0 $：$ f(x,0) = 0 $
因此极限不存在。
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### **(2) 若 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处偏导数存在，则 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处一定连续。**
**错误。**
**反例：**
使用与(1)中相同的函数：
$$
f(x, y) =
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0) \\
0, & (x, y) = (0, 0)
\end{cases}
$$
在 $ (0, 0) $ 处偏导数存在（见(1)），但函数在 $ (0, 0) $ 处不连续，因为：
$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \text{ 不存在，但 } f(0,0) = 0
$$
所以函数不连续。
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### **(3) 若 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处偏导数存在，则 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处一定可微。**
**错误。**
**反例：**
再次使用函数：
$$
f(x, y) =
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0) \\
0, & (x, y) = (0, 0)
\end{cases}
$$
在 $ (0, 0) $ 处偏导数存在，但函数不可微。
**理由：** 若函数可微，则极限
$$
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
$$
代入：
$$
\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \frac{hk}{(h^2 + k^2)^{3/2}}
$$
令 $ h = k $，则：
$$
\frac{h^2}{(2h^2)^{3/2}} = \frac{h^2}{(2^{3/2}) h^3} = \frac{1}{2^{3/2} h} \to \infty \text{ as } h \to 0
$$
所以极限不为 0，函数不可微。
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### **(4) 若 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可微，则 $ \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) $ 一定存在。**
**正确。**
**理由：**
若函数在某点可微，则它在该点一定连续。而连续性意味着：
$$
\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)
$$
所以极限存在。
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### **(5) 若 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可微，则 $ f(x,y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处偏导数一定存在。**
**正确。**
**理由：**
可微的定义中就要求偏导数存在，并且函数满足以下条件：
$$
f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0) h + f_y(x_0, y_0) k + o(\sqrt{h^2 + k^2})
$$
所以偏导数一定存在。
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### **总结答案：**
| 命题编号 | 正确性 | 说明 |
|----------|--------|------|
| (1) | 错误 | 存在偏导数但极限不存在的函数 |
| (2) | 错误 | 存在偏导数但不连续的函数 |
| (3) | 错误 | 存在偏导数但不可微的函数 |
| (4) | 正确 | 可微 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在 |
| (5) | 正确 | 可微 ⇒ 偏导数存在 |
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**最终答案：**
- (1) 错误
- (2) 错误
- (3) 错误
- (4) 正确
- (5) 正确
$$
\boxed{
(1)\text{错},\ (2)\text{错},\ (3)\text{错},\ (4)\text{对},\ (5)\text{对}
}
$$