已知X服从某正态分布，从中随机抽取含量为n的样本，算得样本均数为overline(x)则(X-overline(x))/(s/sqrt(n))服从什么分布A. 正态分布B. 自由度为n-1的t分布C. 标准正态分布D. t分布E. 自由度为n的t分布

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件及统计量的分布推导，需要结合样本均数、样本标准差的分布性质进行分析。

解题核心思路：

1. 明确分子部分的分布：样本均数$\overline{x}$与总体均数$\mu$的差经过标准化后服从标准正态分布。
2. 明确分母部分的分布：样本标准差$s$与总体标准差$\sigma$的关系，结合卡方分布的性质。
3. 结合t分布的定义：将标准正态变量与卡方变量组合，推导出最终的分布形式。

破题关键点：

• 独立性：样本均数$\overline{x}$与样本方差$s^2$在正态分布下独立。
• 自由度确定：分母中的卡方分布自由度为$n-1$，因此最终t分布的自由度也为$n-1$。

步骤1：分析分子部分

样本均数$\overline{x}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，因此：
$\frac{\overline{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

步骤2：分析分母部分

样本方差$s^2$满足：
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$
因此：
$\frac{s}{\sigma} = \sqrt{\frac{\chi^2_{n-1}}{n-1}}$

步骤3：构造t分布

将分子和分母结合：
$t = \frac{\overline{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} = \frac{\frac{\overline{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\chi^2_{n-1}}{n-1}}}$
根据t分布的定义，分子为标准正态变量，分母为卡方变量的平方根，且两者独立，因此$t$服从自由度为$n-1$的t分布。