题目
设总体X服从参数为的指数分布，是X的样本，其样本均值为，样本标准差为S，已知是的无偏估计，则a等于（）A.-1B.0C.1D.
设总体X服从参数为
的指数分布，
是X的样本，其样本均值为
，样本标准差为S，已知
是的无偏估计，则a等于（）
A.-1
B.0
C.1
D.
题目解答
答案
X服从参数为的指数分布，则
，则
，
，则
，则
，因此选择D。
解析
步骤 1：确定总体X的期望和方差
由于总体X服从参数为$\theta$的指数分布，其期望$E(X)=\theta$，方差$D(X)={\theta}^{2}$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})=E(X)=\theta$，方差$D(\overline{X})=\dfrac{1}{n}D(X)=\dfrac{1}{n}{\theta}^{2}$。
步骤 3：计算样本标准差的期望
样本标准差$S$的期望$E(S)=\sqrt{D(X)}=\theta$。
步骤 4：确定无偏估计的条件
已知$\overrightarrow{X}=a\overline{X}+(2-3a)E(S)$是$\theta$的无偏估计，即$E(\overrightarrow{X})=\theta$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到$E(\overrightarrow{X})=aE(\overline{X})+(2-3a)E(S)=a\theta+(2-3a)\theta=(2-2a)\theta$。要使$\overrightarrow{X}$是$\theta$的无偏估计，必须有$(2-2a)\theta=\theta$，从而得到$2-2a=1$，解得$a=\dfrac{1}{2}$。
由于总体X服从参数为$\theta$的指数分布，其期望$E(X)=\theta$，方差$D(X)={\theta}^{2}$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})=E(X)=\theta$，方差$D(\overline{X})=\dfrac{1}{n}D(X)=\dfrac{1}{n}{\theta}^{2}$。
步骤 3：计算样本标准差的期望
样本标准差$S$的期望$E(S)=\sqrt{D(X)}=\theta$。
步骤 4：确定无偏估计的条件
已知$\overrightarrow{X}=a\overline{X}+(2-3a)E(S)$是$\theta$的无偏估计，即$E(\overrightarrow{X})=\theta$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到$E(\overrightarrow{X})=aE(\overline{X})+(2-3a)E(S)=a\theta+(2-3a)\theta=(2-2a)\theta$。要使$\overrightarrow{X}$是$\theta$的无偏估计，必须有$(2-2a)\theta=\theta$，从而得到$2-2a=1$，解得$a=\dfrac{1}{2}$。