题目
(1) https:/img.cdnjtzy.com/zyb_be79cfb3b27bf6e5b6129f4a3e8b7967.jpg^2+(2)^2+(3)^2+... +(n)^2=dfrac (1)(6)n(n+1)(2 n+1);-|||-(2) https:/img.cdnjtzy.com/zyb_be79cfb3b27bf6e5b6129f4a3e8b7967.jpg^3+(2)^3+(3)^3+... +(n)^3=([ dfrac {n(n+1))(2)] }^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\cdots +{n}^{2}=\dfrac {1}{6}n(n+1)(2n+1)$
我们使用数学归纳法来证明这个公式。
- 基础步骤：当 $n=1$ 时，左边为 ${1}^{2}=1$，右边为 $\dfrac {1}{6}\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)=1$，等式成立。
- 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，等式成立，即 ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\cdots +{k}^{2}=\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)$。
- 当 $n=k+1$ 时，我们有 ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\cdots +{k}^{2}+(k+1)^{2}=\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^{2}$。
- 我们需要证明 $\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^{2}=\dfrac {1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$。
- 左边可以化简为 $\dfrac {1}{6}(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]$，进一步化简为 $\dfrac {1}{6}(k+1)(2k^{2}+7k+6)$，即 $\dfrac {1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$，与右边相等。
- 因此，等式对所有正整数 $n$ 成立。
步骤 2：证明 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{n}^{3}={[ \dfrac {n(n+1)}{2}] }^{2}$
我们同样使用数学归纳法来证明这个公式。
- 基础步骤：当 $n=1$ 时，左边为 ${1}^{3}=1$，右边为 ${[ \dfrac {1(1+1)}{2}] }^{2}=1$，等式成立。
- 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，等式成立，即 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{k}^{3}={[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}$。
- 当 $n=k+1$ 时，我们有 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{k}^{3}+(k+1)^{3}={[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}$。
- 我们需要证明 ${[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}={[ \dfrac {(k+1)(k+2)}{2}] }^{2}$。
- 左边可以化简为 ${[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}=\dfrac {1}{4}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}$，进一步化简为 $\dfrac {1}{4}(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)$，即 ${[ \dfrac {(k+1)(k+2)}{2}] }^{2}$，与右边相等。
- 因此，等式对所有正整数 $n$ 成立。
我们使用数学归纳法来证明这个公式。
- 基础步骤：当 $n=1$ 时，左边为 ${1}^{2}=1$，右边为 $\dfrac {1}{6}\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)=1$，等式成立。
- 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，等式成立，即 ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\cdots +{k}^{2}=\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)$。
- 当 $n=k+1$ 时，我们有 ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\cdots +{k}^{2}+(k+1)^{2}=\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^{2}$。
- 我们需要证明 $\dfrac {1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^{2}=\dfrac {1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$。
- 左边可以化简为 $\dfrac {1}{6}(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]$，进一步化简为 $\dfrac {1}{6}(k+1)(2k^{2}+7k+6)$，即 $\dfrac {1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$，与右边相等。
- 因此，等式对所有正整数 $n$ 成立。
步骤 2：证明 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{n}^{3}={[ \dfrac {n(n+1)}{2}] }^{2}$
我们同样使用数学归纳法来证明这个公式。
- 基础步骤：当 $n=1$ 时，左边为 ${1}^{3}=1$，右边为 ${[ \dfrac {1(1+1)}{2}] }^{2}=1$，等式成立。
- 归纳步骤：假设当 $n=k$ 时，等式成立，即 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{k}^{3}={[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}$。
- 当 $n=k+1$ 时，我们有 ${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\cdots +{k}^{3}+(k+1)^{3}={[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}$。
- 我们需要证明 ${[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}={[ \dfrac {(k+1)(k+2)}{2}] }^{2}$。
- 左边可以化简为 ${[ \dfrac {k(k+1)}{2}] }^{2}+(k+1)^{3}=\dfrac {1}{4}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}$，进一步化简为 $\dfrac {1}{4}(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)$，即 ${[ \dfrac {(k+1)(k+2)}{2}] }^{2}$，与右边相等。
- 因此，等式对所有正整数 $n$ 成立。