题目
10.一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)Xsim N(mu,sigma^2)，当设备正常时一天产800吨，现测得最近5天的产量分别为:784，805，790，790，801，(1)试求这批样本的样本均值与样本方差;(2)检验该厂日产量是否仍为800吨?(取alpha=0.05，保留两位小数)注：t_(0.025)(4)=2.78，sqrt(5)=2.24，sqrt(75.5)=8.69.
10.一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，当设备正常时一天产800吨，
现测得最近5天的产量分别为:
784，805，790，790，801，
(1)试求这批样本的样本均值与样本方差;
(2)检验该厂日产量是否仍为800吨?(取$\alpha=0.05$，保留两位小数)
注：$t_{0.025}(4)=2.78$，$\sqrt{5}=2.24$，$\sqrt{75.5}=8.69$.
题目解答
答案
(1) **计算样本均值**：
\[
\overline{x} = \frac{1}{5} \sum x_i = \frac{1}{5} \times 3970 = 794
\]
**计算样本方差**：
\[
s^2 = \frac{1}{4} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{4} \times 302 = 75.5
\]
(2) **假设检验**：
原假设 $H_0: \mu = 800$，备择假设 $H_1: \mu \neq 800$。
计算 t 统计量：
\[
T = \frac{\overline{x} - 800}{s / \sqrt{n}} = \frac{794 - 800}{\sqrt{75.5} / \sqrt{5}} \approx -1.544
\]
临界值 $t_{0.025}(4) = 2.776$，
\[
|T| = 1.544 < 2.776
\]
不拒绝 $H_0$，认为日产量仍为800吨。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(1) 样本均值} & \overline{x} = 794 \\
\text{样本方差} & s^2 = 75.5 \\
\text{(2) 结论} & \text{认为该厂日产量仍为800吨}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{x}$ 是所有观测值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个观测值。
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $s^2$ 是观测值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \]
步骤 3：假设检验
原假设 $H_0: \mu = 800$，备择假设 $H_1: \mu \neq 800$。
计算 t 统计量：
\[ T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\mu_0$ 是原假设中的均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本数量。
步骤 4：比较 t 统计量与临界值
如果 $|T| > t_{\alpha/2}(n-1)$，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
样本均值 $\overline{x}$ 是所有观测值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个观测值。
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $s^2$ 是观测值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \]
步骤 3：假设检验
原假设 $H_0: \mu = 800$，备择假设 $H_1: \mu \neq 800$。
计算 t 统计量：
\[ T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\mu_0$ 是原假设中的均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本数量。
步骤 4：比较 t 统计量与临界值
如果 $|T| > t_{\alpha/2}(n-1)$，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。