题目
4.设有50台接收机，每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布P(0.05)，求50台接收机收到的呼叫次数总和大于3次的概率.
4.设有50台接收机，每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布P(0.05)，求50台接收机收到的呼叫次数总和大于3次的概率.
题目解答
答案
为了求解50台接收机收到的呼叫次数总和大于3次的概率，我们首先需要确定每台接收机收到的呼叫次数的分布，然后找到这些呼叫次数总和的分布。
1. **确定每台接收机的分布：**
每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布 $ P(0.05) $。这意味着每台接收机的呼叫次数的期望值（均值）为 $ \lambda = 0.05 $。
2. **确定50台接收机的总和分布：**
如果 $ X_i $ 是第 $ i $ 台接收机收到的呼叫次数，那么 $ X_i \sim P(0.05) $。50台接收机收到的呼叫次数总和为 $ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50} $。泊松分布的性质之一是，独立泊松随机变量的和也是泊松随机变量，其参数是各个参数的和。因此，$ S \sim P(50 \times 0.05) = P(2.5) $。
3. **计算 $ S $ 大于3的概率：**
我们需要找到 $ P(S > 3) $。这等价于 $ 1 - P(S \leq 3) $。泊松分布 $ P(\lambda) $ 的概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]
对于 $ \lambda = 2.5 $，我们计算 $ P(S \leq 3) $：
\[
P(S \leq 3) = P(S = 0) + P(S = 1) + P(S = 2) + P(S = 3)
\]
\[
P(S = 0) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^0}{0!} = e^{-2.5} \approx 0.0821
\]
\[
P(S = 1) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^1}{1!} = 2.5 e^{-2.5} \approx 0.2052
\]
\[
P(S = 2) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^2}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.2565
\]
\[
P(S = 3) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^3}{3!} = \frac{15.625 e^{-2.5}}{6} \approx 0.2138
\]
将这些概率相加，我们得到：
\[
P(S \leq 3) \approx 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 + 0.2138 = 0.7576
\]
因此，$ S $ 大于3的概率为：
\[
P(S > 3) = 1 - P(S \leq 3) \approx 1 - 0.7576 = 0.2424
\]
最终答案是：
\[
\boxed{0.2424}
\]
解析
步骤 1：确定每台接收机的分布
每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布 $ P(0.05) $。这意味着每台接收机的呼叫次数的期望值（均值）为 $ \lambda = 0.05 $。
步骤 2：确定50台接收机的总和分布
如果 $ X_i $ 是第 $ i $ 台接收机收到的呼叫次数，那么 $ X_i \sim P(0.05) $。50台接收机收到的呼叫次数总和为 $ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50} $。泊松分布的性质之一是，独立泊松随机变量的和也是泊松随机变量，其参数是各个参数的和。因此，$ S \sim P(50 \times 0.05) = P(2.5) $。
步骤 3：计算 $ S $ 大于3的概率
我们需要找到 $ P(S > 3) $。这等价于 $ 1 - P(S \leq 3) $。泊松分布 $ P(\lambda) $ 的概率质量函数为：
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
对于 $ \lambda = 2.5 $，我们计算 $ P(S \leq 3) $：
\[ P(S \leq 3) = P(S = 0) + P(S = 1) + P(S = 2) + P(S = 3) \]
\[ P(S = 0) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^0}{0!} = e^{-2.5} \approx 0.0821 \]
\[ P(S = 1) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^1}{1!} = 2.5 e^{-2.5} \approx 0.2052 \]
\[ P(S = 2) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^2}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.2565 \]
\[ P(S = 3) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^3}{3!} = \frac{15.625 e^{-2.5}}{6} \approx 0.2138 \]
将这些概率相加，我们得到：
\[ P(S \leq 3) \approx 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 + 0.2138 = 0.7576 \]
因此，$ S $ 大于3的概率为：
\[ P(S > 3) = 1 - P(S \leq 3) \approx 1 - 0.7576 = 0.2424 \]
每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布 $ P(0.05) $。这意味着每台接收机的呼叫次数的期望值（均值）为 $ \lambda = 0.05 $。
步骤 2：确定50台接收机的总和分布
如果 $ X_i $ 是第 $ i $ 台接收机收到的呼叫次数，那么 $ X_i \sim P(0.05) $。50台接收机收到的呼叫次数总和为 $ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50} $。泊松分布的性质之一是，独立泊松随机变量的和也是泊松随机变量，其参数是各个参数的和。因此，$ S \sim P(50 \times 0.05) = P(2.5) $。
步骤 3：计算 $ S $ 大于3的概率
我们需要找到 $ P(S > 3) $。这等价于 $ 1 - P(S \leq 3) $。泊松分布 $ P(\lambda) $ 的概率质量函数为：
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
对于 $ \lambda = 2.5 $，我们计算 $ P(S \leq 3) $：
\[ P(S \leq 3) = P(S = 0) + P(S = 1) + P(S = 2) + P(S = 3) \]
\[ P(S = 0) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^0}{0!} = e^{-2.5} \approx 0.0821 \]
\[ P(S = 1) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^1}{1!} = 2.5 e^{-2.5} \approx 0.2052 \]
\[ P(S = 2) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^2}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.2565 \]
\[ P(S = 3) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^3}{3!} = \frac{15.625 e^{-2.5}}{6} \approx 0.2138 \]
将这些概率相加，我们得到：
\[ P(S \leq 3) \approx 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 + 0.2138 = 0.7576 \]
因此，$ S $ 大于3的概率为：
\[ P(S > 3) = 1 - P(S \leq 3) \approx 1 - 0.7576 = 0.2424 \]