5.单选题 已知x^2+y^2=25，则3x+4y的最大值为?A. 15B. 20C. 25D. 12

本题考查知识点为利用柯西不等式求最值。解题思路是根据柯西不等式$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac + bd)^{2}$，将$3x + 4y$进行变形，然后结合已知条件$x^{2}+y^{2}=25$求出$3x + 4y$的最大值。

下面进行详细的解答：
设$a = 3$，$b = 4$，$c = x$，$d = y$。
根据柯西不等式$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac + bd)^{2}$，可得$(3^{2}+4^{2})(x^{2}+y^{2})\geqslant(3x + 4y)^{2}$。
已知$x^{2}+y^{2}=25$，将其代入上式可得：
$(3^{2}+4^{2})\times25\geqslant(3x + 4y)^{2}$
先计算$3^{2}+4^{2}$的值：
$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$
则$25\times25\geqslant(3x + 4y)^{2}$，即$(3x + 4y)^{2}\leqslant625$。
对不等式两边同时开平方可得：
$\vert 3x + 4y\vert\leqslant\sqrt{625}=25$
即$-25\leqslant 3x + 4y\leqslant 25$。
所以$3x + 4y$的最大值为$25$。