题目
设随机变量X和Y独立同分布,记U=X+Y,V=X-Y,则随机变量U和V不相关。A. 正确B. 错误
设随机变量X和Y独立同分布,记U=X+Y,V=X-Y,则随机变量U和V不相关。
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
A. 正确
解析
步骤 1：定义相关性
两个随机变量U和V不相关，意味着它们的协方差为0，即Cov(U,V) = 0。协方差的定义为Cov(U,V) = E[(U-E[U])(V-E[V])]，其中E表示期望值。
步骤 2：计算期望值
由于X和Y独立同分布，设它们的期望值为μ，方差为σ^2。则E[U] = E[X+Y] = E[X] + E[Y] = μ + μ = 2μ，E[V] = E[X-Y] = E[X] - E[Y] = μ - μ = 0。
步骤 3：计算协方差
Cov(U,V) = E[(U-E[U])(V-E[V])] = E[(X+Y-2μ)(X-Y)] = E[(X-μ+Y-μ)(X-μ-(Y-μ))] = E[(X-μ)^2 - (Y-μ)^2] = E[(X-μ)^2] - E[(Y-μ)^2] = σ^2 - σ^2 = 0。
由于X和Y独立同分布，所以E[(X-μ)^2] = E[(Y-μ)^2] = σ^2。
两个随机变量U和V不相关，意味着它们的协方差为0，即Cov(U,V) = 0。协方差的定义为Cov(U,V) = E[(U-E[U])(V-E[V])]，其中E表示期望值。
步骤 2：计算期望值
由于X和Y独立同分布，设它们的期望值为μ，方差为σ^2。则E[U] = E[X+Y] = E[X] + E[Y] = μ + μ = 2μ，E[V] = E[X-Y] = E[X] - E[Y] = μ - μ = 0。
步骤 3：计算协方差
Cov(U,V) = E[(U-E[U])(V-E[V])] = E[(X+Y-2μ)(X-Y)] = E[(X-μ+Y-μ)(X-μ-(Y-μ))] = E[(X-μ)^2 - (Y-μ)^2] = E[(X-μ)^2] - E[(Y-μ)^2] = σ^2 - σ^2 = 0。
由于X和Y独立同分布，所以E[(X-μ)^2] = E[(Y-μ)^2] = σ^2。