6、单选 总体X服从正态分布N(mu_(1),sigma^2)，总体Y服从正态分布N(mu_(2),sigma^2)，X_(1),...,X_(n_{1)}和Y_(1),...,Y_(n_{2)}分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则(sum_(i=1)^n_(1)(X_(i)-overline(X))^2+sum_(i=1)^n_(2)(Y_(i)-overline(Y))^2)/(n_(1)+n_{2)-2}=（）(2分)A. (n_(1)+n_(2)-2)sigma^2B. nsigma^2C. sigma^2D. sigma^2/n

本题考查正态总体样本方差的性质以及样本方差与总体方差的关系。解题的关键在于明确样本方差的计算公式以及样本方差是总体方差的无偏估计这一重要性质。

步骤一：明确样本方差的计算公式

对于来自总体$X$的简单随机样本$X_{1},\cdots,X_{n_{1}}$，其样本方差$S_{X}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}$；对于来自总体$Y$的简单随机样本$Y_{1},\cdots,Y_{n_{2}}$，其样本方差$S_{Y}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\overline{Y})^{2}$。

步骤二：对所给式子进行变形

已知$\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}+\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\overline{Y})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}$，将其变形为$\frac{(n_{1}-1)S_{X}^{2}+(n_{2}-1)S_{Y}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}$。

步骤三：利用样本方差的性质

根据样本方差的性质，样本方差$S^{2}$是总体方差$\sigma^{2}$的无偏估计，即$E(S^{2})=\sigma^{2}$。
对于总体$X$，$E(S_{X}^{2})=\sigma^{2}$；对于总体$Y$，$E(S_{Y}^{2})=\sigma^{2}$。
那么$E\left[\frac{(n_{1}-1)S_{X}^{2}+(n_{2}-1)S_{Y}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\right]=\frac{(n_{1}-1)E(S_{X}^{2})+(n_{2}-1)E(S_{Y}^{2})}{n_{1}+n_{2}-2}$。

步骤四：代入$E(S_{X}^{2})$和$E(S_{Y}^{2})$的值进行计算

将$E(S_{X}^{2})=\sigma^{2}$，$E(S_{Y}^{2})=\sigma^{2}$代入上式可得：
$\begin{align*}\frac{(n_{1}-1)E(S_{X}^{2})+(n_{2}-1)E(S_{Y}^{2})}{n_{1}+n_{2}-2}&=\frac{(n_{1}-1)\sigma^{2}+(n_{2}-1)\sigma^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\\&=\frac{(n_{1}-1 + n_{2}-1)\sigma^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\\&=\frac{(n_{1}+n_{2}-2)\sigma^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\\&=\sigma^{2}\end{align*}$