题目
在平炉炼钢中，由于矿石与炉气的氧化作用，铁水的总含碳量在不断降低，一炉钢在冶炼初期总的去碳量Y与所加的两种矿石的量X1、X2及熔化时间x，(单位：5min)有关．经实测某号平炉的49组数据如表4.4.1所示．求Y对X1，X2，X3的线性回归方程，检验回归方程和回归系数的显著性．如有不显著的变量，请剔除之并求剔除不显著的变量之后的回归方程． 表4.4.1某号平炉的49组实测数据 编号 x1(槽) x2(槽) x3(5min) y(t) 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849 2751213367030860371660940929126120540641045965582741034 189143201217582316184142l1412016150617016651372412152016174141381381161381051715 504046436440643937556049505l51515648455240324744393951414761374945424848363651541004463555045406472 4.33023.64854.48305.54685.49703.11255.11823.87594.67004.95365.00605.27015.37725.48494.59605.66456 07953.21945.80764.73064.68053.12722.61043.71743.89462.70665.63145.81525.13025.39104 45334 65694.52124.86505.35664.60982.38153.87464.59195.15885.43733.99604.39704.06222.29054.71154.53105.36376.0771
在平炉炼钢中，由于矿石与炉气的氧化作用，铁水的总含碳量在不断降低，一炉钢在冶炼初期总的去碳量Y与所加的两种矿石的量X1、X2及熔化时间x，(单位：5min)有关．经实测某号平炉的49组数据如表4.4.1所示．求Y对X1，X2，X3的线性回归方程，检验回归方程和回归系数的显著性．如有不显著的变量，请剔除之并求剔除不显著的变量之后的回归方程．
表4.4.1某号平炉的49组实测数据
编号 x1
(槽) x2
(槽) x3
(5min) y
(t) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
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40
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45
46
47
48
49 2
7
5
12
1
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3
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7
0
3
0
8
6
0
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7
16
6
0
9
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0
9
2
9
12
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10
4
5
9
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5
5
8
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7
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9
14
3
20
12
17
5
8
23
16
18
4
14
2l
14
12
0
16
15
0
6
17
0
16
6
5
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7
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12
15
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16
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4
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8
13
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6
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5l
51
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36
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100
44
63
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50
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72 4.3302
3.6485
4.4830
5.5468
5.4970
3.1125
5.1182
3.8759
4.6700
4.9536
5.0060
5.2701
5.3772
5.4849
4.5960
5.6645
6 0795
3.2194
5.8076
4.7306
4.6805
3.1272
2.6104
3.7174
3.8946
2.7066
5.6314
5.8152
5.1302
5.3910
4 4533
4 6569
4.5212
4.8650
5.3566
4.6098
2.3815
3.8746
4.5919
5.1588
5.4373
3.9960
4.3970
4.0622
2.2905
4.7115
4.5310
5.3637
6.0771
表4.4.1某号平炉的49组实测数据
编号 x1
(槽) x2
(槽) x3
(5min) y
(t) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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36
36
51
54
100
44
63
55
50
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64
72 4.3302
3.6485
4.4830
5.5468
5.4970
3.1125
5.1182
3.8759
4.6700
4.9536
5.0060
5.2701
5.3772
5.4849
4.5960
5.6645
6 0795
3.2194
5.8076
4.7306
4.6805
3.1272
2.6104
3.7174
3.8946
2.7066
5.6314
5.8152
5.1302
5.3910
4 4533
4 6569
4.5212
4.8650
5.3566
4.6098
2.3815
3.8746
4.5919
5.1588
5.4373
3.9960
4.3970
4.0622
2.2905
4.7115
4.5310
5.3637
6.0771
题目解答
答案
1)由式，求得回归系数的估计值
=(0.6952，0.1606，0.1076，0.0359)
多元样本线性回归方程为
=0.6952+0.1606x1+0.1076x2+0.0359x3．此方程的有明确的含义．如，=0.1606表示第一种矿石量每增加一个单位，铁水的平均去碳量增加0.1601(t)；=0.0359表示冶炼时间每增加一个单位时间(5min)，铁水去碳量增加0.0359(t).
2)检验回归方程的显著性，即检验
H0：
为此先计算各偏差平方和
=44.905，
=15.221，
其中
(i=1，2，3)，
=29.684
于是
=0.513．
取显著性水平α=0.01，查F分布表得F1-α(k，n-k-1)=F0.99(3，45)=4.25，从而临界值C=0.2833＜0.513，故拒绝H0，即两种矿石及熔化时间对去碳量的线性影响在α=0.01下是显著的．
3)回归系数的显著性检验，即对
H0i：βi=0(i=1，2，3)
进行检验．取α=0.01，查F分布表，得F1-α(1，n-k-1)=F0.99(1，45)=7.23.因此拒绝域临界值为
(i：1，2，3)，
，计算得
c1=2.1839×=0.1620，
c2=2.1839×=0.1001，
c3=2.1839×=0.0309，因|β1|=0.1606＜c1，|β2|=0.1076＞c2，|β3|=0.0359＞c3，所以在显著性水平α=0.01下，第一种矿石(x1)对去碳量的影响不显著，但另外两个因素对去碳量的线性影响显著．因此，在α=0.01下，可剔除变量x1，建立新的回归方程．利用式求出新的回归方程的系数
=0.0233，
=0.0364，
=2.515，
由此得到新的线性回归方程为
=2.515+0.0233x2+0.0364x3．
=(0.6952，0.1606，0.1076，0.0359)
多元样本线性回归方程为
=0.6952+0.1606x1+0.1076x2+0.0359x3．此方程的有明确的含义．如，=0.1606表示第一种矿石量每增加一个单位，铁水的平均去碳量增加0.1601(t)；=0.0359表示冶炼时间每增加一个单位时间(5min)，铁水去碳量增加0.0359(t).
2)检验回归方程的显著性，即检验
H0：
为此先计算各偏差平方和
=44.905，
=15.221，
其中
(i=1，2，3)，
=29.684
于是
=0.513．
取显著性水平α=0.01，查F分布表得F1-α(k，n-k-1)=F0.99(3，45)=4.25，从而临界值C=0.2833＜0.513，故拒绝H0，即两种矿石及熔化时间对去碳量的线性影响在α=0.01下是显著的．
3)回归系数的显著性检验，即对
H0i：βi=0(i=1，2，3)
进行检验．取α=0.01，查F分布表，得F1-α(1，n-k-1)=F0.99(1，45)=7.23.因此拒绝域临界值为
(i：1，2，3)，
，计算得
c1=2.1839×=0.1620，
c2=2.1839×=0.1001，
c3=2.1839×=0.0309，因|β1|=0.1606＜c1，|β2|=0.1076＞c2，|β3|=0.0359＞c3，所以在显著性水平α=0.01下，第一种矿石(x1)对去碳量的影响不显著，但另外两个因素对去碳量的线性影响显著．因此，在α=0.01下，可剔除变量x1，建立新的回归方程．利用式求出新的回归方程的系数
=0.0233，
=0.0364，
=2.515，
由此得到新的线性回归方程为
=2.515+0.0233x2+0.0364x3．