题目
8.14 某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为7.0cm，方差为0.03。今从一批螺栓中抽取80个测量其口径，得到平均值为6.97cm，方差为0.0375。假定螺栓口径服从正态分布，问这批螺栓是否达到规定的要求(alpha=0.05))?
8.14 某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为7.0cm，方差为0.03。今从一批螺栓中抽取80个测量其口径，得到平均值为6.97cm，方差为0.0375。假定螺栓口径服从正态分布，问这批螺栓是否达到规定的要求($\alpha=0.05)$)?
题目解答
答案
1. **检验方差：**
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.03$，备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.03$。
检验统计量 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{79 \times 0.0375}{0.03} = 98.75$。
临界值 $\chi^2_{0.025}(79) \approx 53.38$，$\chi^2_{0.975}(79) \approx 106.60$。
由于 $53.38 < 98.75 < 106.60$，不能拒绝 $H_0$，方差符合要求。
2. **检验均值：**
原假设 $H_0: \mu = 7.0$，备择假设 $H_1: \mu \neq 7.0$。
检验统计量 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{6.97 - 7.0}{0.1936 / \sqrt{80}} \approx -1.386$。
临界值 $t_{0.025}(79) \approx 1.990$。
由于 $-1.990 < -1.386 < 1.990$，不能拒绝 $H_0$，均值符合要求。
**结论：**
这批螺栓的口径均值和方差均符合规定要求，达到标准。
\[
\boxed{\text{这批螺栓达到规定的要求}}
\]
解析
步骤 1：检验方差
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.03$，备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.03$。 检验统计量 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{79 \times 0.0375}{0.03} = 98.75$。 临界值 $\chi^2_{0.025}(79) \approx 53.38$，$\chi^2_{0.975}(79) \approx 106.60$。 由于 $53.38 < 98.75 < 106.60$，不能拒绝 $H_0$，方差符合要求。
步骤 2：检验均值
原假设 $H_0: \mu = 7.0$，备择假设 $H_1: \mu \neq 7.0$。 检验统计量 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{6.97 - 7.0}{0.1936 / \sqrt{80}} \approx -1.386$。 临界值 $t_{0.025}(79) \approx 1.990$。 由于 $-1.990 < -1.386 < 1.990$，不能拒绝 $H_0$，均值符合要求。
步骤 3：结论
由于方差和均值的检验结果均不能拒绝原假设，因此这批螺栓的口径均值和方差均符合规定要求，达到标准。
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.03$，备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.03$。 检验统计量 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{79 \times 0.0375}{0.03} = 98.75$。 临界值 $\chi^2_{0.025}(79) \approx 53.38$，$\chi^2_{0.975}(79) \approx 106.60$。 由于 $53.38 < 98.75 < 106.60$，不能拒绝 $H_0$，方差符合要求。
步骤 2：检验均值
原假设 $H_0: \mu = 7.0$，备择假设 $H_1: \mu \neq 7.0$。 检验统计量 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{6.97 - 7.0}{0.1936 / \sqrt{80}} \approx -1.386$。 临界值 $t_{0.025}(79) \approx 1.990$。 由于 $-1.990 < -1.386 < 1.990$，不能拒绝 $H_0$，均值符合要求。
步骤 3：结论
由于方差和均值的检验结果均不能拒绝原假设，因此这批螺栓的口径均值和方差均符合规定要求，达到标准。