题目

7.某校900名学生选修6名教师主讲的"高等数学"课程,假定每名学生-|||-完全随意地选择一位教师,且学生之间选择教师是彼此独立的.问:每个教师-|||-的上课教室应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使学生离去的概率小于-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_7a75e0714e9240ea90a1b025876d6086.jpg% ?[ (2.33)=0.990] , Phi (2.4)=0.9918, (2.43)=0.9925] .

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）的应用，以及如何利用标准正态分布表求解临界值。

解题核心思路：

  1. 确定分布：学生选择某位教师的人数服从二项分布$B(n=900, p=\frac{1}{6})$，当$n$较大时，可用正态分布近似。
  2. 计算参数：求出二项分布的期望$\mu = np$和方差$\sigma^2 = np(1-p)$。
  3. 标准化处理：将问题转化为标准正态分布，利用题目给定的$\Phi(z)$值确定临界值$z$，进而求出所需的座位数$N$。

破题关键点：

  • 正确计算方差：方差应为$np(1-p)=125$，而非题目解答中错误的$25$。
  • 理解概率方向：题目要求$P(X > N) < 1\%$，等价于$P(X \leq N) \geq 99\%$，对应标准正态分布的上分位数。

步骤1：确定分布参数

  • 期望：$\mu = np = 900 \times \frac{1}{6} = 150$。
  • 方差：$\sigma^2 = np(1-p) = 900 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 125$，标准差$\sigma = \sqrt{125} \approx 11.18$。

步骤2：标准化与临界值确定

要求$P(X > N) < 1\%$，即$P(X \leq N) \geq 99\%$。标准化后：
$P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{N - 150}{11.18}\right) \geq 0.99$
查标准正态分布表，$\Phi(2.33) = 0.9901$，故临界值$z = 2.33$。

步骤3：求解座位数$N$

$\frac{N - 150}{11.18} = 2.33 \implies N = 150 + 2.33 \times 11.18 \approx 176.08$
取整数得$N = 177$。

注意：题目解答中错误地将方差算作$25$，导致结果为$162$，但正确计算应为$177$。