8.设在总体N(μ,σ^2 ^2)中抽取容量为16的样本(μ,σ^2均未知),试求:-|||-(1)P S^2/2≤2.041},其中S^2为样本方差;-|||-(2)D(S^2).

考察知识与解题思路

本题考查正态总体总体下样本方差的性质，涉及卡方分布的应用及样本方差的方差计算。

题目(1：求$P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leq 2.041\right\}$

关键思路：

1. 样本方差的分布性质：
   对于正态总体$N(\mu,\sigma^2)$，样本方差$S^2$，有统计量：
   $\frac{(n-1)S^2}{\^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
   其中$n=16$（样本容量），故自由度$n-1=15$。

2. 转化概率表达式：
   待求概率$P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leq 2.041\right\}$可转化为：

题目2：求$D(S^2)$

关键思路：

1. 利用卡方分布的方差性质：
   由$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，卡方分布的方差为$D(\chi^2(k))=2k$（$k$为自由度）。