题目
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=sqrt(2)，且tanB+tanC=(sqrt(2)sinA)/(cosC)（1）求B和b的值；（2）求△ABC面积的最大值．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=$\sqrt{2}$，且tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
题目解答
答案
解：（1）∵tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴sinBcosC+cosBsinC=$\sqrt{2}$sinAcosB，
即sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB，
∵A+B+C=π，
∴sinA=$\sqrt{2}$sinAcosB
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．
又∵△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R，可得：b=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．
（2）由余弦定理的b=a2+c2-2accosB，
∴4=a2+c2-$\sqrt{2}$ac，
由基本不等式，得4=a2+c2-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac，
∴ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=2（2+$\sqrt{2}$），
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
故△ABC面积的最大值1+$\sqrt{2}$．
∴$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴sinBcosC+cosBsinC=$\sqrt{2}$sinAcosB，
即sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB，
∵A+B+C=π，
∴sinA=$\sqrt{2}$sinAcosB
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．
又∵△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R，可得：b=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．
（2）由余弦定理的b=a2+c2-2accosB，
∴4=a2+c2-$\sqrt{2}$ac，
由基本不等式，得4=a2+c2-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac，
∴ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=2（2+$\sqrt{2}$），
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
故△ABC面积的最大值1+$\sqrt{2}$．
解析
步骤 1：利用已知条件进行变形
由tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，可得$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，即sinBcosC+cosBsinC=$\sqrt{2}$sinAcosB，即sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB。
步骤 2：求B的值
由于A+B+C=π，所以sinA=$\sqrt{2}$sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以B=$\frac{π}{4}$。
步骤 3：求b的值
由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R，可得b=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2。
步骤 4：求△ABC面积的最大值
由余弦定理得b=a^{2}+c^{2}-2accosB，即4=a^{2}+c^{2}-$\sqrt{2}$ac，由基本不等式得4=a^{2}+c^{2}-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac，所以ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=2（2+$\sqrt{2}$），所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$。
由tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，可得$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，即sinBcosC+cosBsinC=$\sqrt{2}$sinAcosB，即sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB。
步骤 2：求B的值
由于A+B+C=π，所以sinA=$\sqrt{2}$sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以B=$\frac{π}{4}$。
步骤 3：求b的值
由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R，可得b=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2。
步骤 4：求△ABC面积的最大值
由余弦定理得b=a^{2}+c^{2}-2accosB，即4=a^{2}+c^{2}-$\sqrt{2}$ac，由基本不等式得4=a^{2}+c^{2}-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac，所以ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=2（2+$\sqrt{2}$），所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$。